《引言及欧拉法》PPT课件

《《引言及欧拉法》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、机动目录上页下页返回结束第1章常微分方程初值问题的数值解法1.1引言1.2欧拉法(Euler方法)1.1引言目标在于给出解在一些离散点上的近似值。本章研究常微分方程初值问题的主要数值解法，包括基本方法和基本理论问题。1.2欧拉法(Euler方法)1.2.1欧拉方法考虑常微分方程初值问题注：在后面的讨论中，我们总认为这个初值问题的解存在、唯一且连续依赖于初值条件，即初值问题(1.1)，(1.2)是适定的。将解的存在区间等分，得到个小区间。任取一个小区间，由原方程得在区间上，用在点上的值来代替，得到为步长。其中图1.10在上式中分别用和来代

2、替和并由n的任意性，得到(1.3)这就是欧拉公式。欧拉公式亦可由Taylor展式得到0图1.2几何意义几何意义在上式中分别用和来代替和则得一般而言，并不要求步长相等，则有(1.4)例1.1以的数值解，并与精确解为步长，用欧拉法求初值问题比较。先编写右端函数：functiondy=Euler_fun1(x,y)dy=x.*exp(-x)-y;再采用Euler公式编写如下主程序求数值解，并与精确解比较，所得图形如下例1.1以的数值解，并与精确解例1.1以的数值解，并与精确解例1.1以比较。的数值解，并与精确解例1.1以Clear;h=0.1;

3、xend=2;N=2/h;x(1)=0;y(1)=1;x=h.*(0:N);forn=1:Ny(n+1)=y(n)+h*Euler_fun1(x(n),y(n));endy_real=1/2*(x.^2+2).*exp(-x);plot(x,y,'*',x,y_real,'r')xlabel('x','FontSize',16);ylabel('y','FontSize',16);1.2.2收敛性研究所谓收敛性问题,就是研究时,要求,。整体截断误差这里(1.6)即ThTh局部截断误差(1)、计算格式本身不能准确描述原来的方程误差的产生：(

4、2)、计算机本身引入的误差(舍入误差)注：不考虑计算机引入的舍入误差为保证Euler公式是一个好的数值计算格式，需研究Euler公式的收敛性和稳定性问题。定理1.1(1.12)其中h。为步长，的局部截断误差，则欧拉方法满足假定Back其中R为局部截断误差的上界。定理1.2设f(t,u)关于u满足Lipschitz条件，L为相应的Lipschitz常数，则欧拉方法的整体截断满足(1.13)误差Th1.4由定理1.1，1.2，可得定理1.3设f(t,u)关于u满足Lipschitz条件，L为相应的Lipschitz常数，(1.14)且当h→0

5、，，并有估计式，则欧拉方法的解一致收敛到初值问题(1.1)，(1.2)的解如果，即，由此有(1.15)即欧拉方法的整体截断误差与h同阶，由的表达式可知，，这说明局部截断误差比整体截断误差高一阶。我们称欧拉方法为一阶格式。1.2.3稳定性研究前已指出欧拉方法的稳定性问题是决定欧拉法在利用计算机能否得到精确解的关键问题，只有稳定的算法才可能是有用的算法。定理1.4在定理1.2的条件下，欧拉方法是稳定的。Th1.2由定理1.2，我们看到如初始误差，则整体截断误差的阶完全由局部截断误差的阶决定，事实上，若局部截断误差阶为，则整体截断误差阶为。因此

6、为了提高数值算法的精度，往往从提高局部截断误差的阶入手，这也时构造高精度差分方程数值方法的主要依据。定义1.1如果存在正常数c及，使对任意初始值与，由计算所得之解满足估计式则称欧拉方法稳定。注意:这里分别是以为初值得到的精确值，毫无舍入误差，因此这里稳定性定义式对初值的稳定性，即研究初值误差在计算过程中的传递问题。谢谢P10习题1，用Euler法，并与精确解比较作业：作业要求：写出程序，列表或用图形显示结果，并给出图或表所说明的结果