《拉格朗日松弛算法》PPT课件

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1、拉格朗日松弛算法基于规划论的松弛方法拉格朗日松弛理论拉格朗日松弛的进一步讨论拉格朗日松弛算法主要内容:目标值最优值基于数学规划:分支定界法、割平面法、线性规划松弛再对目标函数可行化等的目标值。现代优化算法：禁忌搜索法、模拟退火法、遗传算法、蚁群算法等的目标值。其它算法：分解法、组合算法等的目标值。下界算法：线性规划松弛、拉格朗日松弛等的目标值。例子1:线性规划松弛:在5.1.1中,将整数约束松弛为实数,称其为5.1.1的线性规划松弛:定理5.1.1:此类算法适合于整数规划问题中,决策变量为较大整数的情形

2、.此类算法分两阶段:第一阶段为求松弛后线性规划问题的最优解;第二阶段为将解整数化,并考虑可行性.注:例2:对偶规划松弛方法:5.1.2的对偶形式为:其中Y为决策变量.注:由对偶理论知,5.1.2和5.1.3有相同的最优值,至于采用其中的哪个模型求解5.1.1的下界,需比较哪个计算简单.例3.代理松弛法:当(5.1.1)中的约束太多时,代理松弛一个约束代替(5.1.1)中的K个约束极端情况可以用一个代替全部注:代理松弛法保证目标函数,整数规划约束不变,显然,由代理松弛法求得的解不一定可行例4.拉格朗日松弛

3、方法基本原理:将目标函数中造成问题难的约束吸收到目标函数中,并保持目标函数的线性,使问题容易求解.Q:为什么对此类方法感兴趣?A:(1).在一些组合优化中,若在原问题中减少一些约束,则使得问题求解难度大大降低.(我们把这类约束称为难约束).(2).实际的计算表明此种方法所得到的结果相当不错.5.1基于规划论的松弛方法松弛的定义（5.1.1）:问题整数规划模型:满足下列性质时,称为5.1.1的一个松弛(relaxation).可行解区域兼容:目标函数兼容:其中,为5.1.1的可行域.例5.1.1setco

4、veringproblem问题描述:设,所有,且每一列对应一个费用,表示第j列覆盖第i行,要求在最小的费用下选择一些列,使其覆盖所有的行.松弛问题:松弛模型:以上问题很容易求得最优解5.2拉格朗日松弛理论原整数规划问题拉格朗日松弛定理5.2.1LR同下整数规划问题(5.2.1)有相同的复杂性,且若IP可行解非空，则:证明:注:定理5.2.1说明拉格朗日松弛是IP问题的一个下界,但我们应该求与IP最接近的下界,即:定义5.2.1若,满足以下条件,则称D为凸集.对于离散点集,其凸包定义为:显然Con(Q)为

5、凸集.定理5.2.2若拉格朗日对偶问题的目标值有限,则证明:设Con(Q)的极点为,极方向为则:由LD问题有限,则有:上述问题等价于:整理得:其对偶问题为:即有:推论5.2.1:对于任给c,整数规划问题IP和拉格朗日对偶问题LD的目标值相等的充要条件为:证:显然有从而有:再由定理5.2.2:若对任何c有,则问题得证.例5.2.1假设整数规划问题IP第一个约束为复杂约束,其拉格朗日松弛后的模型LR为:43211234l2l1l4l3EDCBA5.2.3图解示意下降方向最优解(7,2)(3,4)-29(7.

6、5,1)(4,0)-32(8,0)(4,0)-32单位化下降方向:最优值只能在(4,0)和(3,4)两点得到,过这两点的直线方程:y+x4=16.其垂直方向为:综合有:例5.2.2(继5.2.1)例5.2.1中43211234DCB43211234DCBS1S2由推论5.2.1可以知道,由两个因素有关:第一个因素是目标函数中的C,推论5.2.1要求对所有的C满足S1=S2,但也可能存在某个C使得第二个因素是可行解的区域.由上面的图形可知,SI和S2不同,所以存在一个C,使得不为零,如在例5.2.1中,,

7、在达到拉格朗日对偶问题的最优值,其最优解为(4,0);,其一个最优解也为(4,0).由此我们可以知道,即使拉格朗日松弛在某个下达到的最优解为原问题的可行解,我们也不能断言.除非此时.定理5.2.3若线性规划松弛问题LP存在可行解,则注:此定理说明,拉格朗日松弛对偶后的目标值是IP问题的一个下界,且不比差.定理5.2.3的充要条件是存在和使得:证明：１、充分性：２、必要性：记　为ＩＰ问题的最优解，　为ＬＤ问题的最优解，则：例5.2.3(继例5.2.1)时,为问题的一个可行解,此时:一般情况下,可大致估计:

8、5.3.拉格朗日松弛的进一步讨论目的:对非标准的拉格朗日形式讨论.一、等号约束的松弛二、LR最优解和LP最优解的关系具体例见例5.3.1。例5.3.1集合覆盖问题拉格朗日松弛三个约束，由此得到当松弛后问题的一个最优解为原问题（5.3.1）的一个可行解时，并不能得到该解为原问题的最优解。在什么条件下该解为IP的一个最优解？定理5.3.1的充要条件为：三、拉格朗日松弛的整数性定义5.3.1若LR的最优解与其整数约束无关，则称该问题具有整数性，即