质量分布均匀球体的引力效应

《质量分布均匀球体的引力效应》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2014年第6期物理通报竞赛与物理专题研修质量分布均匀球体的引力效应柏杨(扬州大学附属中学江苏扬州225002)(收稿日期：2013—10—26)方成反比，方向沿着它们之间的连线．然后，求得球1问题的提出壳上所有部分对质点P的合力，即为该均质球对质高中物理“万有引力定律”一节中，通过对牛顿点P的作用力．研究的介绍，向学生呈现了万有引力定律的内容，并特别指出，公式中r为两个质点之间的距离，对于质量分布均匀的球体，r为两个球体球心之间的距离．为什么处理一个均质球对球外质点的吸引作用时，可以将球的质量集中在它的球心来处理呢?2问题的证明图1设一密度均匀的球壳，它的厚度t比其半径r小

2、设在A点处球壳的一小部分对质点P的引力为得多，如图1所示．那么，对球壳外一个质量为m的F，而在球壳上离质点P同样远但位于和A点对称质点P的引力是多少?的B点处同样质量的一小部分对质点P的引力为假设球壳上每一很小部分对质点P的作用力为F，这两个力的合力为F。+F。．由对称性可知，这两F，根据万有引力定律，该力的大小应与球壳每一小个力垂直OP方向的分量彼此抵消，而水平分量部分的质量成正比，而与它和质点P之间距离的平FCOSf与F2COSf相等．通过把球分为像这样一对一将Fo，k代人得，B。L。走一R—+—r一型再结合规律2的一一可得此时对应dmgtan0————一4mBL一k(2

3、)金属棒以初速度进入水平轨道，设金属求出一一忌棒在水平轨道上鲁处的速率为，由金属棒所受的将与k代入上式得安培力与速度的关系满足一曼垦±!皇二丝!一B。L4mR+F一L一一一参考文献式中1马文蔚．物理学．北京：高等教育出版社，1999．48～492014年第6期物理通报竞赛与物理专题研修对的小块，可以看出，所有作用在质点P上力的垂直如它的所有质量都集中于其球心时的引力．OP方向的分量都成对相互抵消了，则球壳对质点P一个实心球体可当作由大量同心球壳所构成．的合引力只需考虑水平分量即可．如果各层球壳具有不同密度，但每一球壳都具有均在球壳上取dS的一条圆带形状的质量元．此圆匀密度，则

4、同样的结论也适用于这种实心球体．因带长为27c(rsinO)，宽为rdO，厚为t．那么其体积为此，对于像地球、月球或太阳在一定程度上也可视为dV一2ntrsinOdO这类球体的物体来说，讨论它们吸引外部物体时，就设球壳密度为lD，则圆带的质量为可以把它们当作质点来处理．dM—pdV=2ntprsinOdO应该指出，上述的证明只适用于球体，且只适用即M一4~tpr于整个球体的密度不变或密度仅为半径的函数的情圆带对质点P所施的力是水平的，其值为况．dF—Gc：==2~Gtp丁sinOdOc。sa(1)3问题的推论由图1可以看出推论1：均质球壳对内部一质点的引力为零．(R-rcos

5、O)C0SCt一一—一—(2)证明：如图2所示，因为质量为m的质点位于球壳内部，所以R小于r，积分限是从r—R到r+R．根据余弦定理z一R+r一2RrcosO(3)故有rc。s一杀(4)将式(3)微分，得2xdx一2RrsinOdO即sinOdO一dx(5)图2将式(4)代入式(2)，再将式(2)与式(5)代入式因为(1)，从而消去0与a，得麒+)dz一。dF一＼nGRtpmr)(+1dz(6)所以F一。这个结果，虽然不是显而易见的，却是合理的．这就是圆带d5作用于质点P上的引力．因为球壳上处于对称位置的质量元对质点所施的力考虑球壳上每一质量元，即将式(6)对整个球具有相反的

6、方向，而总的抵消作用则决定于这一事壳所有圆带求和．这种求和是对变量z求出遍及整实，即力正好与质点间的距离的平方成反比．据查，个球壳的积分．因为．27的范围是从最小值R—r到最牛顿当年的证明如下．大值R+r，所以麒+)dz故合力为R+rF=dF—Gm=G(7)一，式中M为球壳的总质量．这个结果和假设质量为M与的两个质点相距R时所求得的引力结果完全相图3同．即一密度均匀的球壳对球壳外一质点的引力犹如图3所示，设一质点位于球壳内任意一点P一64一2014年第6期物理通报竞赛与物理专题研修处．假设球壳厚度与密度都是均匀的．以P为顶点作投入而从另一端递出需要多长时间?两个对顶小圆锥，在

7、球壳面上所截的面积为dA，(3)若使邮件沿着地球的某一直径的隧道传dA．设球壳的质量面密度为，则截面dA对P点递，试求邮件通过地心时的速率有多大?处质点的作用力为f—GmadA11——一一GrnDdQn1地，1球式中的d为以P为顶点，向上开口的小圆锥的立体角．同理，截面dA对质点的作用力为f2一GdO2式中d为以P为顶点，向下开口的小圆锥的立体解析：(1)离地球球心距离为r的一质点所受地角．而d一dn，所以f一fz，两截面对质点的合球引力完全来自该质点位置以内的球体中的物质，力为外层球壳对该质点没有作用