[理学]线性代数-同济大学第五版课件

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1、线性代数（第五版）在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组.但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等.我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形.在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具.3•行列式是线性代数第一章行列式的一种工具！•学习行列式主要就是要能计算行列式�内容提要的值.§1二阶与三阶行列式§2全排列及其逆序数行列式的概念.§3n阶行列式的定义§4对换（选学内容）§5行列式的性质行列式的性质及计算.§6行列式按行（列）展开§7克拉默法则——线性

2、方程组的求解.4§11二阶与三阶行列式我们从最简单的二元线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式.一、二元线性方程组与二阶行列式⎧ax+ax=b1111221二元线性方程组⎨⎩ax+ax=b2112222由消元法，得(aa−aa)x=ba−ab112212211122122(aa−aa)x=ab−ba112212212112121当aa−aa≠0时，该方程组有唯一解11221221ba−abab−bax=122122x=11212112aa−aaaa−aa1122122111221221二元线性方程组⎧ax+ax=b1111221⎨⎩ax+ax

3、=b2112222求解公式为请观察，此公式有何特点？⎧ba122−ab122�分母相同，由方程组的四个系数确定.x=⎪1⎪aa−aa11221221⎨�分子、分母都是四个数分成两对相乘再ab−ba⎪x=1121212⎪⎩⎪⎩⎪⎩aa1122−aa1221相减而得.二元线性方程组我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.⎧ax+ax=b1111221⎨⎩ax+ax=baaaa211222211121112数表记号aaaa21222122其求解公式为表达式aa−aa称为由该11221221⎧ba−ab122122x=数表所确定的二阶行列式，即⎪1

4、⎪aa−aa11221221⎨a11a12ab−baD==aa−aa⎪x=112121aa1122122122122⎪aa−aa⎩11221221其中，aiij(=1,2;j=1,2)称为元素.i为行标，表明元素位于第i行；原则：横行竖列j为列标，表明元素位于第j列.二阶行列式的计算——对角线法则主对角线aa1112=aa−aa11221221副对角线a21a22即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积⎧ax+ax=b1111221二元线性方程组⎨⎩ax+ax=b2112222aa1112若令D=(方程组的系数行列式)aa2122baab1121

5、11D=D=12baab222212则上述二元线性方程组的解可表示为ba−abDx1221221==1aa−aaD11221221ab−baD1121212x==2aa−aaD11221221例1求解二元线性方程组⎧3x1−2x2=12⎨⎩2x1+x2=13−2解因为D==3−(−4)=7≠02112−2D==12−(−2)=14111312D==3−24=−21221D14D−2112所以x===2,x===−312D7D7二、三阶行列式定义设有9个数排成3行3列的数表aaa111213aaa212223原则：横行竖列aaa313233引进记号aaa

6、主对角线111213a21a22a23=aaa112233+aaa122331+aaa132132副对角线aaa−aaa−aaa−aaa313233132231122133112332称为三阶行列式.二阶行列式的对角线法则并不适用！三阶行列式的计算——对角线法则aaa111213D=aaa212223aaa313233实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.=aaa+aaa+aaa112233122331132132−aaa−aaa−aaa132231122133112332注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.12-4例2计算

7、行列式D=-221-34-2解按对角线法则，有D=1×2×(−2)+2×1×(−3)+(−4)×(−2)×4−1×1×4−2×(−2)×(−2)−(−4)×2×(−3)=−4−6+32−4−8−24=−14.例3求解方程11123x=0.249x解方程左端22D=3x+4x+18−9x−2x−122=x−5x+6,2由x−5x+=60得x=2或x=3.§22全排列及其逆序数引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解123百位1233种放法十位12132种放法1种放法个位123共有3×2×1=6种放法.问题把n个不同的元素排成一列，

8、共有多少种不同的排法？定义把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列.n个不同元素的所有