关于人造卫星发射过程的分析

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1、关于人造卫星发射过程的分析机械06唐宇000597【摘要】本文主要讨论如何将人造卫星发射到轨道上去的问题。由于卫星的发送通常是由一级或多级火箭来完成的，于是要研究喷气发动机的推力方向如何随时间变化，同时找出为了保证以最少的燃料消耗将卫星运送到预定的轨道上去所需的燃料消耗方式。【关键字】人造卫星，推力方向控制，燃料消耗【正文】鉴于现阶段所能应用的知识有限，要对研究环境进行简化。由于卫星入轨过程中，大部分弹道位于稀薄的高空大气中，因此可将空气动力省略；而在弹道的尺寸和地球半径相比很小的情形下，可用面平行的引力场代替地球的中心力场。带加速器的卫星的运动方程投影到直角坐标系X

2、OY上可写成：dudwdydx=pcosφ,=psinφ－g,=w,=u,（1.1）dtdtdtdt其中u,w是速度在水平方向和垂直方向的投影，p是反作用力的加速度的大小，φ是推力对水平方向的倾角。方程(1.1)中的x和y是水平坐标和垂直坐标。tdV理想情形下卫星的速度V＝∫pdt；所以p＝.据此可将(1.1)写为：0dtdudVdwdVdy＝cosφ，＝sinφ－g，＝w(1.2)dtdtdtdtdt数量V是在加速和把卫星送上轨道的过程中所可能给予卫星的可供支配的速度。所要研究的问题是如何选择(1.2)中的两个不确定的时间函数V(t)和φ(t)，以使在运送阶段的终了

3、在给定的高度达到最大的水平分速度。◆边界条件假设V在运动终了时等于某一固定的数值Vk。如果认为单位推力的大小不依赖于每秒的燃料消耗方式，则给出Vk的一定数值就相当于给出起始重量和最终重量的比值。边界条件为：当t＝0时u＝u0，w＝w0，y＝y，V=0.当t＝T时w=0,y=Y,V=Vk.(1.3)◆关于φ(t)和V(t)对于φ(t)，只需要求其连续；对于V(t)，应视其为非减小的函数，TdV加速阶段终了的速度：u＝∫cosφdt+u0（1.4）0dtdwdV另有：－sinφ＋g＝0，(1.5)dtdtdy－w＝0。(1.6)dtu0=v0cos□0;w0=v0sin□

4、0.(1.7)将V0作为已知的，改变□0，就可以解得最佳的初速向量的倾角值。作辅助函数：TdVdwdVdyJ=v0cos□0＋∫{cosϕ+λ1(−sinϕ+g)+λ2(−w)}dt0dtdtdtdt（1.8）其中λ和λ是暂时未定的时间函数。12变分后，使δy和δw的因子为0，可得：TdVdδJ={(−sinϕ−λcosϕ)δϕ+[−(cosϕ−λsinϕ)]δV}dt,（1.9）∫110dtdtdλ1其中λ应由方程=−λ，λ＝常数及边界条件决定。122dt∴λ＝C＋Ct，C和C为两个常数，11212当T不固定时，有：C＋CT＝012由（1.9）得tgϕ=−λ，所以倾

5、角的最佳方案的表达式为tgϕ=−(C+Ct)112在最佳方案中，倾角的正切应是时间的线性函数，其中两个参数的选择应使边界条件得到满足。为以最好的方式选择函数V(t)，假定对每一个这样的函数都取最佳的倾角变化规律。则：TdδJ={−[(sinϕ−λcosαϕ)]δV}dt（1.10）∫10dt在满足微分条件（1.5）（1.6）时，（1.4）和（1.8）相同。因此，在改变燃料消耗方式以及相应的改变V(t)时，可将（1.10）变为：TδU=∫Φ(t)⋅δV⋅dt（1.11）0C(tgϕ−Ct)202其中Φ=−2(tgϕ−Ct)+102◆对特殊情形的讨论在运动时间不预先给定，

6、而最终速度取极大的情形下，以最佳方式取初始角，有：tgϕ0tgϕ=tgϕ−CT=0∴C=k022T在v0＝0的情况下，为满足边界条件，有：Vsinϕ+Vsinϕ−gT=0（1.12）11222TVsinϕ⋅T−g=Y（1.13）112其中Y是给定高度，V是运动初始时刻得到的速度，V是运动终了时刻得到的速度，12并定义可供支配的速度储藏为V=V+V122gT2Y如果T不固定，由（1.12）（1.13）得：=Y∴T=2g2gY可得：sinϕ=当右面的部分小于1时，问题有解。即当给定高度后，1V可供支配的速度储藏应大于把物体垂直上抛到高度Y时所需的速度，在这一情形下，运送阶

7、段终了的水平分速度为：U=V⋅cosϕ1d1T并且Φ=()由Φ(t)dt=0得cosϕ=cosϕ∫12dtcosϕ0∴ϕ=±ϕ12gTgT21．ϕ=ϕ则sinϕ=，对于最终速度，有U=V1−()121VVgT对V的限制条件是<1。V22Y2Y2．ϕ=−ϕ，有sinϕ=最终速度U=V1−()121VTVT◆结论在运送阶段应解决的问题是把卫星送上给定的高度，并给予需要的水平分速度。当运送时间也由最佳方式选取时，最有利的情形应当是利用运动开始的瞬时冲量来获得高度和速度．把运动引上水平方向应依靠重力来实现．如果给定的运送时间不同于最佳时间，那么，为了把运动引