《数学集合论》PPT课件

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1、集合论(SetTheory)是现代数学的基础．它的起源可追溯到16世纪末，但集合论实际发展是由19世纪70年代德国数学家康托尔(G.Cantor)在无穷序列和分析的有关课题的理论研究中创立的.集合论在计算机科学、人工智能领域、逻辑学及语言学等方面都有着重要的应用．对于从事计算机科学的工作者来说，集合论是不可缺少的理论知识，熟悉和掌握它是十分必要的．第3章集合、关系与映射3.1集合的基本概念一、集合的概念把具有相同性质的所有对象汇集在一起就称为一个集合.把组成集合的对象称为元素。例如：方程x2－1＝0的实数解集合；26个英文字母的集合；坐标平面上所有点的集合；二、集

2、合的表示一般用带下角标或不带下角标的大写字母表示集合，如A,B,P1,P2,Q1,Q2等;一般用带标号或不带标号的小写字母表示集合，如a,b,c,a1,a2,…等;3.1集合的基本概念三、说明集合的方法（1）列举法：如A={1,2,3,4}，B＝{0,2,4,6,8,10,…}（2）描述法：如A={x

3、P(x)},P(x)是元素x所具有的性质。例：A={x

4、x2-5x+6=0}（3）特定的字符集：在集合中常约定：N表示自然数集合；I(或Z)表示整数集合；Q表示有理数集合；R表示实数集合；E表示偶数集合；O表示奇数集合；P表示素数集合；F表示分数集合；C表示复数集合；R＋表示正实数

5、集合；R*表示非零实数，即R*={x

6、x∈R∧x≠0};（4）图示法：用封闭曲线表示集合，封闭曲线内的点表示集合中的元素3.1集合的基本概念注意：集合的元素是确定的，即对集合A，任一元素a或属于此集合(a∈A)或不属于此集合(aA)，两者必居其一。集合中的每个元素均不相同。即集合{1,2,2,3,4,4}={1,2,3,4}(3)集合中的元素是无序的。例：{4,3}={3,4}3.1集合的基本概念包含关系：若集合B中的每个元素都是A中的元素，称B包含于A或A包含B，称集合B是集合A的一个子集记为BA:＝(x)(x∈Bx∈A)如果B不被A包含，则记作BA。例如：NZQ

7、RC，但ZN。3.1集合的基本概念四、集合间的关系：相等关系和包含关系结论：对任何集合A都有AAA。例如：A＝{a，{a}}和{a}的关系为{a}A，又有{a}∈A若B是A的子集且在A中存在不属于B的元素，则称集合B是集合A的一个真子集，记为BA:＝BA∧(x)(x∈A∧xB}，称A真包含于B。3.1集合的基本概念例如：NZQRC相等关系：若集合A的任一元素都是集合B中的元素并且集合B中的元素也是集合A中元素，则称这两个集合相等，记为A＝B:＝(x)(a∈Aa∈B)或A＝B:＝(AB)∧(BA)否则称这两个集合不相等，记为A≠B3.1集合的基本概念五

8、、子集具有的性质：①AA自反性②AB∧BAA＝B反对称性③AB∧BCAC传递性证明:这里仅给出②的证明,余下类似可证．AB∧BA(x)(xAxB)∧(x)(xBxA)(x)((xAxB)∧(xBxA))(x)((xAxB)A＝B3.1集合的基本概念不包含任何元素的集合称为空集。记为例如：A={x

9、x2＝-1,x∈R}对任何集合A，A全集U：所有集合都是U的子集。3.1集合的基本概念六、集合的运算交运算：A∩B:={x

10、xA∧xB}3.1集合的基本概念并运算：A∪B:＝{x

11、xA∨xB}3.1集合的基本

12、概念两个集合的并和交运算可以推广成n个集合的并和交：A1∪A2∪…∪An＝{x

13、x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An}＝A1∩A2∩…∩An＝{x

14、x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An}＝六、集合的运算3.1集合的基本概念并和交运算还可以推广到无穷多个集合的情况：＝A1∪A2∪…＝A1∩A2∩…差运算：B－A:＝{x

15、xB∧xA}3.1集合的基本概念全集U：所有集合都是U的子集。补集：全集U与集合A的差集称为A的补集，记为＝U－A={x

16、xA}AU3.1集合的基本概念对称差运算：A⊕B:={x

17、x(A－B)∨x(B－A)}A⊕B3.1集合的基本概念显然：A

18、⊕A＝A⊕B＝B⊕AA－B＝A∩A⊕U＝图形表示集合间的关系－文氏图(VennDigram表示)UA,B3.1集合的基本概念A＝B交换律A∩B＝B∩A；A∪B＝B∪A结合律A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∩(B∩C)=(A∩B)∩C分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)4.吸收律A∪(A∩B)=A；A∩(A∪B)=ADeMergam律幂等律A∩A＝A;A∪A＝A补余律零律A∩＝A∪U＝U壹律A∩U＝AA∪＝A互补律重非律集合运算