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1、算数基本定理定理1(算术基本定理)任一大于1的整数能表示成素数的乘积,即对于任一整数a＞1,有a=p_1…p_n,p_1≤…≤p_n,其中p_1,…,p_n是素数,并且若a=q_1,…,q_m,q_1≤…≤q_m,其中q_1,…,q_m是素数,则m=n,q_i=p_i,i=1,…,n.推论2任一大于1的整数能惟一地表示成a=p_1^{k_1}…p_s^{k_s},p_1＜…＜p_s.注：上式叫做a的标准分解式.推论3若a
2、n,b
3、n,(a,b)=1,则ab
4、n.我们知道,正整数可以按约数的多少分为3类:第1类:仅含一个数1,称
5、为单位;第2类:仅含两个约数的数,是素数;第3类:含有大于两个的约数的数,是合数.素数是组成自然数的元素或原子.定理2素数的个数是无穷的.为了把素数从自然数中筛选出来,古希腊的数学家厄拉多塞(Eratosthenes,约前276-前195)设计了一种筛法.例如,为了求出不超过100(或任给的正整数)的所有素数,只要把1和不超过100的正合数都删去即可.注:1)100以内的素数只有25个,即2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
6、;2)从这不超过100的25个素数出发,重复上面的做法,就可以找出不超过100^2=10000的全部素数,这种寻找素数的方法,通常叫做厄拉多塞筛法.例1求15与27的最大公约数与最小公倍数.解因为15=3×5,27=3^3,所以(15,27)=3,[15,27]=3^3×5=135.更一般地,有推论4设a=p_1^{s_1}…p_k^{s_k},b=p_1^{t_1},…,p_k^{t_k},则a,b的最大公约数为:p_1^{m_1}…p_k^{m_k},这里m_i=min(s_i,t_i),而a,b的最小公倍数为:p_1^{
7、d_1}…p_k^{d_k},这里d_i=max(s_i,t_i),由于m_i+d_i=s_i+t_i,所以ab=(a,b)[a,b].例2证明:形如4k-1的素数是无限的.证明思路同定理2.一般地,设k＞0,l＞0,(k,l)=1,则形如kn+l的素数有无限多个,这个定理叫狄利克莱(Dirichlet,1805-1859,德国数学家)定理.定义1设p是一个素数,形如2^p-1的数叫做麦什涅数,记做M_p=2^p-1.几个定义定义2我们把F_n=2^{2^n}+1,n≥0,叫做费马数.谢谢观看
