《小波变换简介》PPT课件

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1、小波变换简介傅立叶变换信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。1807年，JosephFourier傅立叶变换以在两个方向上都无限伸展的正弦曲线波作为正交基函数，提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。原因是对于瞬态信号或高度局部化的信号（如边缘），由于这些成分并不类似于任何一个傅立叶基函数，它们的变换系数（频谱）不紧凑的，频谱上呈现出一幅相当混乱的构成。傅立叶变换有限宽度基函数的分析方法逐步出现。基函数在频率和位置上都是变化的。“小”。小波变换是通过缩放母小波（Motherwavelet）的宽度来获得信

2、号的频率特征，通过平移母小波来获得信号的时间信息。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。傅立叶变换将信号分解为不同频率的正弦波的叠加傅立叶变换架起了时域和频域的桥梁只有频率分辨率而没有时间分辨率。可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候。傅立叶变换如果想要研究函数在区间(a,b)上的性质，一个很自然的想法就是利用函数乘f(t)傅立叶变换这就是1945Gabor提出的STFT(shorttimeFouriertransform)。但是，在t＝

3、a，b处存在间断，这会使得傅立叶变换附加新的高频成分。这种人为引入的高频成分显然不是我们希望的。频谱“泄露”问题。STFT的时间-频率关系图窗口傅立叶变换取一个光滑的函数g(t),称为窗口函数，在有限区间外恒等于0，或者很快的趋近于0窗口傅立叶变换优点：Gf(ω,τ)确实包含了f(t)的全部信息，并且窗口位置随τ而变，符合研究信号局部性质的要求；缺点：Gabor窗口的大小和形状保持不变，与频率无关。但是，在实际中，窗口的大小应该随着频率的变化而变化。时域加窗分析时频平面划分示意图窗口傅立叶变换窗口傅立叶变换另一个缺点是：无论怎

4、样离散化，都不能使Gabor变换成为一组正交基；而傅立叶变换经离散化后可得到按正交函数展开的傅立叶级数。1909:AlfredHaarAlfredHaar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后来被命名为哈尔小波(Haarwavelets)1980：Morlet1970s，在法国石油公司工作的年轻地球物理学家JeanMorlet提出小波变换(wavelettransform，WT)的概念。1980s,连续小波变换(continuouswavelettransform，CWT)。1986

5、：Y.Meyer法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数；用缩放(dilations)与平移(translations)均为2j(j≥0的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基，使小波分析得到发展。1988：Mallat算法法国科学家StephaneMallat提出多分辨率概念，从空间上形象说明小波的多分辨率的特性，并提出了正交小波的构造方法和快速算法，称为Mallat算法[1]该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位小波

6、母函数设为一平方可积函数，若其傅立叶变换满足条件：（容许性条件：频域也衰减）称为一个基本小波或者小波母函数。特点：小（紧支撑，速降）；波动性（均值为0，）；频域也衰减。小波小波是一个衰减的波形，在有限的区域里存在，即不为零。且其均值为零。从小波和正弦波的形状可以看出，变化剧烈的信号，用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好，即用小波更能描述信号的局部特征。连续小波基函数将小波母函数进行伸缩和平移后得到函数称该函数为依赖于参数a,τ的小波基函数。a为尺度因子，b为位移因子。许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名的，例如，M

7、oret小波函数是Grossmann和Morlet在1984年开发的；db6缩放函数和db6小波函数是Daubechies开发的Marr小波，墨西哥草帽（MexicanHat）：高斯函数的二阶导数例子可以看到，小波基函数的窗口随着尺度因子的不同而不同。a增大，时间窗口随着增大，对应的频域窗口减小，中心频率变低。在大尺度上，基函数搜索信号中大的特征，而在较小的尺度上，则寻找信号中的细节信息。连续小波变换CWT小波系数的意义Wf(a,b)表示信号与尺度为a小波的相关程度。小波系数越大，二者越相似。连续小波变换的简单步骤选择尺度为a

8、确定的小波，与信号开始的一段比较；计算小波系数；向右移动小波，重复以上两步，直至处理完整个信号；增大尺度因子a，重复上述三步。直到完成所需的所有尺度。图示离散小波变换DWT在每个可能的尺度因子和平移参数下计算小波系数，其计算量相当大，将产生惊人的数据量，而且有许多数据是无用的