苏XI友无密码课件第5章代数系统的一般性质

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1、Chap.5代数系统的一般性质代数系统又称近世代数、抽象代数.19世纪的数学家认识到,对许多不相“联系”的代数抽出它们的共同的内容进行综合研究,可以发现它们具有统一的形式,即:(1)它们都是由一些元素或对象组成的集合;(2)服从一种或几种运算;(3)这些运算的特性仅仅由某些抽象的性质决定;(4)运算的结果是该集的元素.因此,所谓代数系统就是由集合和定义其上的一个或多个运算所组成的系统,简称为代数.北京林业大学信息学院苏喜友1Chap.5代数系统的一般性质代数系统是一种数学结构,它由集合、关系、运算、公理、定义

2、、定理和算法所组成.它是应用抽象的方法,研究我们将要处理的数学对象—集合上的关系或运算(运算也是一种关系).事物间的关系就是事物的结构,所以代数系统又称为代数结构.北京林业大学信息学院苏喜友2Chap.5代数系统的一般性质近世代数的应用十分广泛,它不仅是数学专业的一些分支,如数论、范畴论等的基础,也是其它专业,如原子物理、系统工程等所必需.在计算机和信息科学中,近世代数是重要的数学工具.如:描述机器可计算的函数、研究算术计算的复杂性、刻画抽象的数据结构、作为程序设计语言的语义学基础、逻辑电路设计和编码理论等,

3、都需要代数知识.因此,代数的概念和基本方法,已成为这一领域中科技人员必须掌握的基本工具.北京林业大学信息学院苏喜友3Chap.5代数系统的一般性质§1二元运算及其性质§2代数系统及其子代数§3代数系统的同态与同构北京林业大学信息学院苏喜友4§1二元运算及其性质一、二元运算的定义在给出一般的代数运算定义之前,先看下面两例：Exp.1设Z是整数集合,考虑Z中的普通加法运算+,则对于Z中的任意两个数a和b,根据数的加法运算法则,可得Z中唯一一个整数c作为a+b的结果.通常记作c=a+b.Exp.2设Mn(R)是全体

4、n阶实数矩阵的集合,考虑Mn(R)中的普通的矩阵乘法,则∀A,B∈Mn(R),根据乘法运算法则,可得Mn(R)中唯一一个n阶实矩阵C作为A乘B的结果.记作C=AB.北京林业大学信息学院苏喜友5§1二元运算及其性质Def.1设S是一个非空集合,S2=S×S到S的一个映射(或函数)f:S2→S称为S上的一个二元代数运算,简称二元运算.S到S的映射f:S→S称为集合S上的一元代数运算,简称一元运算.我们可以将一元运算、二远运算的概念推广到一般的n元运算.北京林业大学信息学院苏喜友6§1二元运算及其性质Def.2设S

5、是一个非空集合,Sn到S的一个映射(或函数)f:Sn→S称为S上的一个n元代数运算,简称n元运算.n称为运算的阶或秩,f称为运算符.f为S上的n元运算应满足以下两个条件:(1)∀x1,x2,…,xn∈S,f(x1,x2,…,xn)都要有定义,即f是全函数;(2)∀x1,x2,…,xn∈S,运算结果f(x1,x2,…,xn)是唯一的,且都是集合S中的元素,即S对于运算f是封闭的.北京林业大学信息学院苏喜友7§1二元运算及其性质Def.3设S是一个非空集合,Sn到S的一个映射(或函数)f:Sn→S,若f(Sn)⊆

6、S,则称映射f关于集合S是封闭的(closed)或称S对f是封闭的.n元运算的一个重要特性就是运算的封闭性,即只要f是集合S上的n元运算,则f关于S是封闭的;反之,只要f是关于S封闭的函数,则f是S上的n元运算.从本质上讲,集合S上的n元运算就是从Sn到S的一个特定函数.因此,看一个函数是否为n元运算只需看它是否是封闭的即可.北京林业大学信息学院苏喜友8§1二元运算及其性质Exp.3(1)＋,×是N上的二元运算,但－,÷不是.(2)＋,－,×都是Z和R上的二元运算,但÷不是.(3)×,÷都是非零实数集R*上的

7、二元运算,而＋,－不是.因为两个非零实数相加或相减可能为0.(4)设A为任意集合,则∪,∩,－,为P(A)上的二元运算.~是P(A)上的一元运算.(5)∧,∨,→,为命题公式集合上的二元运算,而¬是该集合上的一元运算.(6)矩阵加法和乘法为Mn(R)上的二元运算,但不是全体实矩阵集合上的二元运算.(7)函数的复合运算◦为AA上的二元运算.设B是A上的所有双射函数的集合,则函数的逆运算是B上的一元运算.北京林业大学信息学院苏喜友9§1二元运算及其性质为了与一般的函数相区别,通常用◦、•、等表示运算的符号,

8、称为算符.设f:S×S→S是S上的二元运算,对任意的x,y∈S,如果x与y的运算结果是z,即f(‹x,y›)=z,利用算符可简记为x◦y=z.有时为了方便起见,在不致引起混淆的情况下,可将算符省略,直接记为xy=z,读作“x乘y”.北京林业大学信息学院苏喜友10§1二元运算及其性质Exp.4设R为实数集合,定义R上的二元运算:∀x,y∈R,有xy=x.计算34,(-5)0.2,01/2.解