《指派问题》PPT课件

《《指派问题》PPT课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、信息处理中的组合优化第四章指派问题CombinatorialOptimizationinInformationProcessing指派问题（AssignmentProblem,AP）是一种特殊的线性规划问题，也属于0-1整数规划问题.在图论中称为最佳匹配问题（OptimalMatching）.问题描述：有n项任务需要去完成，恰好有n个人可以去完成这n项任务，而每个人完成各项任务的效率是不同的，如果要求每人完成其中一项，且每项任务只交给其中一人去完成，应如何分配，使总的效率最高.第四章指派问题§1最大基数匹配问题§2指派问题§3指派问题的应用§4瓶

2、颈分配问题第四章指派问题§1最大基数匹配问题人员工作分配问题：某公司有工作人员x1,x2,…,xn,他们去做n项工作y1,y2,…,yn，每人会做其中的一项或几项，要求每人至多做一项，每项工作至多由一人来做，问能否每人都分配到一项会做的工作？x3x1x2y2y1y3如果不那么最多几人有会做的工作可做？且如何安排？可用图和矩阵给出它的数学模型及求解方法.§1最大基数匹配问题Definition4.1设图G=(V，E)GraphVertexEdge1、如果，且对，与无公共顶点，则称边子集M是G的一个匹配；2、M中的每条边的两个顶点称为关于M是饱和的，

3、否则称为非饱和的；3、G中每个顶点都关于M是饱和的，则称M是G的一个完备匹配；4、如果M是一匹配，而不存在其他匹配M1，使得5、如果M是一匹配，而对不是G的匹配，则称M是G的一个极大匹配.Note:最大匹配与极大匹配的边数是不同的x3x1x2y2y1y3，则称M是G的最大（基数）匹配；第四章指派问题6、如果G的顶点V可分成两个满足如下条件的子集X，Y：②对，则与ej关联的两个顶点分属XY，称G=(X,Y,E)为二部图或偶图.x3x1x2y2y1y3x4x5y4y5①人员工作分配问题就是在二部图中寻找最大匹配.§1最大基数匹配问题x3x1x2y2y

4、1y3x4x5y4y5该问题也可用矩阵表示如果xi会做yj否则1111111111000000000000000在矩阵中寻找什么？寻找最多的不同行不同列的1元素.(二部图G的邻接矩阵)称为独立元（素）第四章指派问题如何寻找？礼让原则从每行、每列中，1最少的行或列先取，一样多时随意.×××××遗憾的是这是错的××××××××ק1最大基数匹配问题1965年匈牙利著名数学家Edmonds为之设计了命名为“匈牙利算法”的有效算法，计算复杂性为O(n).就二部图的邻接矩阵，先给出几个概念：在第i行第j列上的①（1被加圈）表示xi(或yj)已被分配，或该行

5、（或列）已被分配；此时，由于所在行和列的1元素不能再取，用1表示;×不同行不同列的①，称为A的一个分配，用M表示;第四章指派问题×××设M为已知分配，xi未被分配，而该行没有1，则xi不能被分配；若有1，选择一个1(aij),如果第j列没有加圈1，则对该1加圈，得到一新的分配M′,有，如果有加圈1（ai1j），则对aij,ai1j打√,√√√且划去第j列，再看第i1行有否没有被划去的1，没有，结束；有，再重复上述过程，直至不能继续为止.这时所得序列，称为关于M的交互链.如果在交互链中，最后得到的是无圈1，则称该交互链为可增广链.把可增广链中的加圈

6、1与没圈的1，互换标记，得到一新的分配M′,有.上述过程称之为增广过程.交互链、可增广链可在图G中描述§1最大基数匹配问题Theorem4.1(Berge,1957)M是A的最大分配的充要条件是不存在可增广链.匈牙利算法：Step1任给一初始分配M，设S为未被M分配的行集合；Step2如果，则此时已得到最大分配，End否则，取；Step3寻找xi出发的可增广链，如果存在，则进行增广；且令GotoStep2;否则xi不能被分配，令GotoStep2;对图G的最大匹配，结论也成立proofTheorem4.1的证明Proof:必要性：若M是A的最大分

7、配，显然A中无关于M的可增广链，不然M还可以增广成独立元更多的分配，与M是最大分配相违；充分性：反证，若M不是最大分配，则存在分配M1,作由于M2是由M，M1中非公共部分组成，而M,M1都是分配，所以从M2的任一1出发，按交互链得到方法，得到的链必是M,M1中的1交替出现.√√√√√√√由于，所以在所有的交互链中，必有一条链属于M1的1多于属于M的1，且以M1的1出发、结束，这是关于M的可增广链.与条件矛盾.证毕√√√√第四章指派问题Example1求G的最大匹配，G的邻接矩阵如右所示：√Solution:不妨设初始匹配取x3，从x3y2出发，√

8、√√得一增广链：增广得：√√√√√取x4，得一增广链：增广得：取x5，从x5y3出发，√得一交互链，但不是增广链.从x5y4出发，因y4