《数值计算引论》PPT课件

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1、数值计算方法本课程的性质、目的和任务：本课程是电气工程及其自动化专业一门专业基础课。其目的是通过本课程的学习，使学生掌握利用计算机计算各种数学模型的数值计算方法，并通过数值上机实验提高学生程序设计的基本技能。为进一步学习专业课和毕业后从事专业工作打下必要的基础。课时安排：讲课：24学时上机：8学时第一章数值计算引论主要内容：数值计算方法的概念、研究对象及特点数值计算中的误差；近似数的误差表示法；运算误差分析；减小运算误差的原则；数值计算方法研究的对象随着计算机技术的发展和科学研究、生产实践的需要，利用计算机作

2、为科学计算的主要工具越来越不可缺少，因而要求研究适合计算机使用的数值计算方法。为了更具体地说明数值计算方法的研究对象，我们考察用计算机解决科学计算问题的一般过程。§1.1数值计算方法解决科学计算问题的过程数值分析计算机近似解实际问题数学模型计算机计算的特点：运算速度快只能完成加、减、乘、除和一些逻辑运算计算机计算数学问题的步骤：数学问题四则运算编程指令数值计算方法，又称数值分析或计算方法,它是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科，是程序设计和对数值结果进行分析的依据和基础。根据计算

3、机的特点，必须把对数学问题的解法归结为＋－×÷及逻辑运算，并对运算顺序有完整、准确的描述的算法。数值计算方法定义：解决的数学问题计算方法课是研究各种数值算法及其有关理论的一门课程。从工程实际出发，本课程所要解决的数学问题主要是：非线性方程的数值求解线性方程组的数值求解插值和曲线拟合数值积分和微分常微分方程的数值求解。数值算法特点：1〉面向计算机根据计算机特点提供实际可行的有效算法，即算法只能包括加，减，乘，除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的；2〉保证算法的收敛性和稳定性数值算法的数值解能任意逼近精确解到要

4、求的程度；还要保证算法的数值稳定性。3〉要有好的计算复杂性算法的计算复杂性是指该算法的空间复杂度和时间复杂度。空间复杂度：指算法需占用的存储空间.时间复杂度：指算法包含的运算次数。例如，求解一个20阶线性方程组，用加减消元法需3000次乘法运算，而用克莱姆法则要进行次运算，如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。计算方法中常用的一些概念数值问题：由一组已知数据（输入数据），求出一组结果数据（输出数据），使得这两组数据之间满足预先制定的某种关系的问题。数值解：经过计算机的计算求出的解，或由数值计算公式得出的解

5、称为数值解。一般为近似值。算法：由给定的已知量，经过有限次的四则运算及规定的运算顺序，求出所关心的未知量的数值解，这样所构成的整个计算步骤，称为算法。§1.2数值计算中误差的来源从实际问题中抽象出数学模型——模型误差通过测量得到模型中参数的值——观测误差求近似解——方法误差(截断误差）机器字长有限——舍入误差大家一起猜？11/e解法之一：将作Taylor展开后再积分S4R4取则称为截断误差=0.747……§1.3误差与有效数字，例如：工程上常记为，称为绝对误差限，简称误差、精度的上限记为由于无法准确地知道绝对

6、误差的大小，但根据具体情况可估计出误差范围。误差限不唯一，实际中常用四舍五入来取近似值。例如测量数据、四舍五入数据四舍五入的误差限是末位的半个单位绝对误差其中x为精确值，x*为x的近似值。简记为有效数字用科学计数法，记（其中）。若，则称为有n位有效数字，精确到。有效数字即有效数字位数，它是由绝对误差决定的。等价定义：一个四舍五入的近似数，从左向右第一位非零数字到最后一位数字的个数就是有效数字位数。定义：例：问：有几位有效数字？请证明你的结论。证明：有位有效数字，精确到小数点后第位。43关于有效数字还要指出

7、以下几点：1)用四舍五入取准确值的前n位作为近似值，则必有n位有效数字。2)把任何数乘以10p，等于移动该数的小数点。这样不影响其有效数字位数。例如：9.80写成0.0098010-33）数字末尾的0不可随意省去0.2300有4位有效数字，而00023只有2位有效。12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。⑷准确值被认为具有无穷多位有效数字相对误差x的相对误差上限定义为:绝对误差还不足以刻划近似数的精确程度，例如，有两个量哪个近似程度好？定义：实际应用：相对误差限在实际计算中常称为相对

8、误差。由相对误差限的定义可知，相对误差限可由绝对误差限求出。反之，绝对误差限也可由相对误差限求出，即。1.4函数的误差估计问题：对于y=f(x)，若用x*取代x，将对y产生什么影响？设一元函数的自变量的近似值为，的近似值为，其误差限记为。将在近似值作泰勒展开介于，之间。取绝对值得其中：为近似数的绝对误差限。分析：利用函数的泰勒展开式可分析这种误差。1.4函数的误差估计注：关于多元函数的讨论，请参阅教