数值分析5高斯消元法“算法化”

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1、《数值分析》5线性方程组的标准形式高斯消元法“算法化”初等矩阵与高斯变换富比尼矩阵与LU分解确定小行星轨道以太阳为原点在轨道平面内建立直角坐标系,取天文测量单位,在五个不同时间观察小行星,测得坐标数据：x4.55965.08165.55465.96366.2756y0.81451.36851.98952.69253.5265通过计算确定椭圆方程a1x2+2a2xy+a3y2+2a4x+2a5y+1=02/18a1xj2+2a2xjyj+a3yj2+2a4xj+2a5yj+1=0五个点的坐标(xj,yj)(j=1,2,3,4,5)代入二次曲

2、线方程,得关于a1,a2,a3,a4,a5的方程组3/18线性方程组的标准形式a11x1+a12x2+····+a1nxn=b1a21x1+a22x2+····+a2nxn=b2·········································an1x1+an2x2+····+annxn=bnAX=b4/18克莱姆法则解线性方程组(1)输入矩阵A和右端向量b;高斯消元法第一步:将方程组消元化为三角形方程组;第二步:解三角形方程组,得原方程组的解。(4)计算并输出x1=D1/D,····,xn=Dn/D,结束。(3)对k=1

3、,2,···,n用b替换A的第k列数据,并计算替换后矩阵的行列式值Dk;(2)计算A的行列式D,如果D=0,则输出错误信息结束,否则进行第(3)步;5/18回代过程(解上三角方程组)计算：xn=bn/ann(a11…ann≠0)xk=[bk－(ak,k+1xk+1+…+akn)]/akk(k=n－1，…，1)除法:n次;乘法:n(n-1)/2次,共n(n+1)/2次乘除法运算6/18消元过程(化一般方程组为上三角方程组)增广矩阵(4×5)阶n×(n+1)阶7/18计算3个数:[m21m31m41]T=[a21a31a41]T/a11用-

4、m21乘矩阵第一行后加到矩阵第二行;用-m31乘矩阵第一行后加到矩阵第三行;用-m41乘矩阵第一行后加到矩阵第四行;第一轮消元后8/18消元过程的算法化:消元因子:消元中非零元数据刷新:复杂度分析:除法:3次····························(n-1次)，乘法:3×4=12次················(n-1)×n次消元因子9/18第二轮消元后计算2个数：[m32m42]T=[a32(1)a42(1)]T/a22(1)用-m32乘矩阵第二行后加到矩阵第三行;用-m42乘矩阵第二行后加到矩阵第四行;10/18第三

5、轮消元后用-m43乘矩阵第三行后加到矩阵第四行;计算:m43=a43(2)/a33(2)对应于三角形方程组=11/18n阶方程组消元过程乘法次数:(n-1)n+(n-2)(n-1)+…+1×2=(n3-n)/3除法次数:(n-1)+(n-2)+…+1=n(n-1)/2回代过程：n(n+1)/2总工作量:n2+(n3-n)/3n23456Gs6173665106Gm85136428852520612/18初等矩阵与Gauss变换第一行乘–m21加到第二行············F1=En····E3E2I13/18第一轮消元:A(1)=F

6、1AF1=En····E3E214/18记e1T=[10···0]=I–m1e1T15/18Fk=I–mkekT(k=1,2,···,n–1)········ekT=[0···010···0]16/18Gauss消元结果A(n–1)=Fn-1Fn-2·······F1AFk=I–mkekT(k=1,2,···,n–1)Fk被称为Frobenius矩阵,其重要性质有Fk-1=I+mkekT(k=1,2,···,n–1)F1-1F2-1······Fn-1-1=I+m1e1T+m2e2T+···+mn-1en-1T17/18Fn-1Fn-2·

7、······F1A=A(n–1)矩阵的三角分解记为:A=LUF1-1F2-1···Fn-1-1=I+m1e1T+m2e2T+···+mn-1en-1TLUA=(F1-1F2-1······Fn-1-1)A(n–1)18/18