高中数学集合与常用逻辑用语命题及其关系、充分条件与必要条件

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1、第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以____________的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做_________，判断为假的语句叫做__________．判断真假真命题假命题2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有_______的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性_______________．3．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的_____条件，q是p的_____条件．(2)如果p⇔q，那么p与q互为____

2、_________．(3)如果pD/⇒q，且qD/⇒p，则p是q的_______________________．相同没有关系充分必要充要条件既不充分又不必要条件1．“命题的否定”就是“否命题”这种判断是否正确？为什么？【提示】不正确，①概念不同，命题的否定是直接对命题的结论否定；否命题是对原命题的条件和结论分别否定．②构成不同，对于“若p，则q”形式的命题，命题的否定为“若p，则綈q”；其否命题是“若綈p，则綈q”，③真值不同，命题的否定与原命题真假相反；而否命题与原命题真假无关．【提示】由逆命题为真，知qp；逆否命题为假，知pq；故p是q的必要不充

3、分条件．2．命题“若p，则q”的逆命题为真，逆否命题为假，则p是q的什么条件？1．(人教A版教材习题改编)下列命题正确的是()①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“

4、a

5、＞

6、b

7、”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件；④“a＞b”是“ac2＞bc2”的充要条件．A．②④B．②③C．②③④D．③④【解析】由于

8、a

9、＞

10、b

11、⇔a2＞b2，a＞b⇔a＋c＞b＋c，故②③正确．由于a＞bD/⇒a2＞b2，且a2＞b2D/⇒a＞b，故①错；当c2＝0时，a＞bD/⇒ac2＞bc2，故④错．【答案】B【答案】C3．命题“若a＞－

12、3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】原命题正确，从而其逆否命题正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题，故选B.【答案】B4．(2012·天津高考)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若φ＝0，则f(x)＝cosx是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)

13、为偶函数”的充分而不必要条件．【答案】A(1)命题p：“若a≥b，则a＋b＞2012且a＞－b”的逆否命题是()A．若a＋b≤2012且a≤－b，则a＜bB．若a＋b≤2012且a≤－b，则a＞bC．若a＋b≤2012或a≤－b，则a＜bD．若a＋b≤2012或a≤－b，则a≤b(2)下列命题中为真命题的是()A．命题“若x＞y，则x＞

14、y

15、”的逆命题B．命题“x＞1，则x2＞1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题【思路点拨】(1)直接根据逆否命题的定义写出，但应注意“且”的否定是“或”．(2

16、)分清命题的条件与结论，写出原命题的逆命题、否命题后再判断真假．【尝试解答】(1)“且”的否定是“或”，根据逆否命题的定义知，逆否命题为“若a＋b≤2012或a≤－b，则a＜b”，故选C.(2)A中逆命题为“若x＞

17、y

18、，则x＞y”是真命题；B中否命题为“若x≤1，则x2≤1”是假命题；C中否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”是假命题；D中原命题是假命题，从而其逆否命题为假命题．【答案】(1)C(2)A1．本例(1)中应注意“且”的否定是“或”，本例(2)中可利用原命题与逆否命题同真假来判断．2．(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与

19、结论，再考查每个命题的条件与结论之间的关系．(2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变．3．判定命题为真，必须推理证明；若说明为假，只需举出一个反例．互为逆否命题是等价命题，根据需要，可相互转化．(1)命题“若x、y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数(2)(2013·启东模拟)已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题

20、的个数为________．【解析】(1)“x＋y是偶数”的否定为“