《运筹学图与网络》PPT课件

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1、第十一章图与网络规划GraphTheoryandNetworkAnalysis11.1图与网络的基本概念11.2最短路问题11.3网络最大流问题11.4最小费用最大流问题内容简介是近几十年来运筹学领域中发展迅速、而且十分活跃的一个分支．对实际问题的描述具有直观性广泛应用于物理学、化学、信息论、控制论、计算机科学、社会科学以及现代经济管理科学等许多科学领域．图与网络分析的内容十分丰富．本章只介绍图与网络的基本概念以及图论在路径问题、网络流问题等领域中的应用．重点讲明方法的物理概念、基本原理及计算步骤．11.1图与网络的基本概念图的

2、理论研究已有200多年的历史了．早期图论与“数学游戏”有着密切关系．所谓“哥尼斯堡七桥”问题就是其中之一．200多年前的东普鲁士有一座哥尼斯堡城，城中有一条河叫普雷格尔河，河中有两个岛屿共建七座桥．平时城中居民大都喜欢来这里散步，并提出这样一个问题：一个散步者能否经过每座桥恰恰一次再回到原出发点．11.1图与网络的基本概念当时有许多人都探讨了这个问题，但不得其解．著名数学家欧拉（Euler）将这个问题简化为一个如右图所示图形．图4个点A、B、C、D表示两岸和小岛．两两点间连线表示桥．11.1图与网络的基本概念于是问题转化为一笔画

3、问题，即能否从某一点开始一笔画出这个图形，不许重复，最后回到原出发点．欧拉否定了这种可能性．原因是图中与每一个点相关联的线都是奇数条．为此他写下了被公认为世界第一篇有关图论方面的论文（1736年）11.1图与网络的基本概念1859年哈密尔顿提出了另一种游戏：在一个实心的12面体（见图）的20个顶点上标以世界上著名的城市名称，要求游戏者从某一城市出发，遍历各城市恰恰一次而返回原地，这就是所谓“绕行世界问题”．11.1图与网络的基本概念作图，此问题变成在从某一点出发寻找一条路径，过所有20个点仅仅一次，再回到出发点．解决这个问题可以

4、按序号1—2—3—4一…一20—1所形成的一个闭合路径，并称此路径为哈密尔顿圈．具有哈密尔顿圈的图称为哈密尔顿图．11.1图与网络的基本概念由此可见，图论中所研究的图是由实际问题抽象出来的逻辑关系图．这种图与几何中的图形和函数论中所研究的图形是不相同的．这种图的画法具有一定的随意性，在保持相对位置和相互关系不变的前提下，点的位置不一定要按实际要求画，线的长度也不一定表示实际的长度．而且画成直线或曲线都可以．通俗地说，这种图是一种关系示意图．11.1图与网络的基本概念图的概念所谓图，就是顶点和边的集合，点的集合记为V，边的集合记为

5、E，则图可以表示为：G＝（V，E），点代表被研究的事物，边代表事物之间的联系，因此，边不能离开点而独立存在，每条边都有两个端点。在画图时，顶点的位置、边和长短形状都是无关紧要的，只要两个图的顶点及边是对应相同的，则两个图相同。图的表示e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9点与边顶点数集合V中元素的个数，记作p(G)。边数集合E中元素的个数，记作q(G)。若e=[u,v]∈E，则称u和v为e的端点，而称e为u和v的关联边，也称u，v与边e相关联。例如图中的图G，p(G)=6，q(G)=9，v1，v2是e1和e

6、2的端点，e1和e2都是v1和v2的关联边。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9点边关系若点u和v与同一条边相关联，则u和v为相邻点；若两条边ei和ej有同一个端点，则称ei与ej为相邻边。例如在图中v1和v2为相邻点，v1和v5不相邻；e1与e5为相邻边，e1和e7不相邻。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9简单图若一条边的两个端点是同一个顶点，则称该边为环；又若两上端点之间有多于一条边，则称为多重边或平行边。例如图的e8为环，e1，e2为两重边，e4，e5也是两重边。含有多重边

7、的图称作多重图。无环也无多重边的图称作简单图。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9图的次次点v作为边的端点的次数，记作d(v)，如图中，d(v1)=5,d(v4)=6等端点次为奇数的点称作奇点；次为偶数的点称作偶点。次为1的点称为悬挂点，与悬挂点连接的边称作悬挂边；次为0的点称为孤立点。图中的点v5即为悬挂点，边e9即为悬挂边，而点v6则是弧立点。e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9定理若图G中所有点都是孤立点，则称图G为空图。定理1所有顶点的次的和，等于所有边数的2倍。即e1e2

8、e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9定理2在任一图中，奇点的个数必为偶数。设V1和V2分别是图G中次数为奇数和偶数的顶点集合。由定理1有e1e2e3e4e5v2v3v1v4v5v6e6e7e8e9链由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列称为链