§2.2.1 椭圆的标准方程

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1、椭圆的标准方程授课教师：陆海琴教材：苏教版选修系列·数学2－1l教学目标根据课程标准的要求，本节教材的特点及所教学生的认知情况，把教学目标拟定如下：⑴知识目标：进一步理解椭圆的定义；掌握椭圆的标准方程，理解椭圆标准方程的推导；会根据条件写出椭圆的标准方程；能用标准方程判定是否是椭圆．⑵能力目标：通过寻求椭圆的标准方程的推导，帮助学生领会观察、分析、归纳、数形结合等思想方法的运用；在相互交流学习中，使学生养成表述、抽象、总结的思维习惯，逐步培养学生在探索新知过程中进行合作推理的能力，及应用代数知识进行同解变形和

2、化简的能力．⑶情感目标：在平等的教学氛围中，让学生体验数学学习的成功与快乐，增加学生的求知欲和自信心；培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度．l重点、难点及关键重点：椭圆的标准方程的应用；难点：椭圆标准方程的推导；关键：创设椭圆的直观情境，结合建立坐标系的一般原则，从“对称美”和“简洁美”出发作必要的点拨．l教学方法启发、探索l教学手段运用多媒体辅助教学l教学过程㈠创设情景、引入课题播放课件：1997年初，中国科学院紫金

3、山天文台发布了一条消息：从1997年2月中旬起，海尔·波普彗星将逐渐接近地球，4月以后又将渐渐离去，并预测3000年后，它还将光临地球上空．问题讨论：紫金山天文台预测3000年以后它还将光临地球上空的依据是什么？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行的周期及轨道的周期，预测它接近地球或渐渐离去的时间．由此可说明轨迹方程有很大作用，怎样才能算出彗星运行轨道的方程呢？这就是我们今天要探究的问题——椭圆的标准方程．目的：利用课件生动形象

4、的演示提高学生学习兴趣、激活学生思维，使学生的注意、记忆、思维凝聚在一起，加强学生对椭圆形象的认识，提高参与程度，让学生认识到学习椭圆的必要性，引出课题．㈡新授课1．复习回顾上节课我们已经学习了椭圆，请大家回忆一下椭圆的定义，想一想我们是怎么画椭圆的？[平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距][数学实验]请大家把课前准备好的一根绳子和两颗图钉拿出来，同桌合作根据上节课讲的方法在纸上画出椭圆的图形．[学生讨论]

5、在绳长不变的情况下，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有何变化？当两个图钉重合在一起时，画出的图形是什么？当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出的图形是什么？当两个图钉之间固定，能使绳长小于两个图钉之间的距离吗？2a>2c2a=2cc=02a<2c2c越小2c越大线段圆无轨迹椭圆越圆椭圆越扁目的：复习旧知识，为后面分析椭圆的标准方程做下铺垫；以旧知识来调动学生的学习积极性，激发他们的学习兴趣；给学生提供一个动手操作，合作学习的机会；通过实验让学生去探究“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”有深刻地理解；培养学生

6、的自信心、成就感．2．标准方程的推导问题1：回忆求圆的方程的一般步骤是什么？（建系、设点、列式、化简）问题2：本题中可以怎样建立直角坐标系？设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1、F2的距离的和为2a(2a>2c)．让学生根据所画的椭圆，选取适当的坐标系．☆结合建立坐标系的一般原则——使点的坐标、几何量的表达式简单化，并且从“对称美”、“简洁美”的角度出发作一定的点拨；若学生选取适当的坐标系都一样，教师多画几个坐标系，让学生选，注意要有中心在原点，焦点在y轴的坐标系；并提

7、问：为什么选取这样的坐标系，依据是什么．方案1：如图，焦点落在x轴上⑴建系：以F1、F2所在直线为轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy．⑵设点：设点P（x，y）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为．⑶列式：依据椭圆的定义式

8、PF1

9、+

10、PF2

11、=2a列方程，并将其坐标化为．目的：教学生学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。☆这是一个比较复杂的根式变形，化简的关键在于将根式去掉，而去根式则要两边平方，那怎样平方去根式会较简单呢？⑷化简：通

12、过移项、两次平方后得到：，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令，可的椭圆的标准方程为．先让学生尝试化简，然后教师指出含有根式的化简规则．☆总结含有根式的化简步骤：（1）方程中只有一个根式时，需将根式单独留在方程的一边，把其他项移到方程的另一边，然后两边平方；（2）方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边只有一项，再两边平方．方案2：如图，焦点落在y轴上试想：推断此时椭圆的标准