数学模型种群的弱肉强食

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1、种群的弱肉强食(食饵-捕食者模型)种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。模型的历史背景——一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？食饵（甲）数量x(t),捕食者（乙）数量y(t)甲独立生存的增长率r乙使甲的增长率减小，减小量与y成正比乙独立生存的死亡率d甲使乙的死亡率减小，减小量与x成正比方程(1),(2)无解析解食饵-捕食者模型(Volterra)a~捕食者掠取食饵能力b~食饵供养捕食者能力Volterra模型的平衡点

2、及其稳定性平衡点稳定性分析P点稳定性不能用近似线性方程分析p=0,q>0P:临界状态q<0P´不稳定tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.9269………5.10009.616216.72355.20009.017316.2064………9.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700020.83113.9587用数学软件MATLAB求微分方程数值解x~y平面上的相轨线计算结果（数值，图形）x(t),y(

3、t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线观察，猜测x(t),y(t)的周期约为9.6xmax65.5,xmin6,ymax20.5,ymin3.9用数值积分可算出x(t),y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值约为25,y(t)的平均值约为10。食饵-捕食者模型(Volterra)消去dt用相轨线分析点稳定性c由初始条件确定取指数x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上讨论相轨线的图形用相轨线分析点稳定性相轨线时无相轨线以下设y2y1xQ3Q4qy1y2x1x2pyy0xx0P0x1x2Q1Q2Q1(x1,y0),Q2(x2,y0

4、)Q3(x,y1),Q4(x,y2)相轨线退化为P点存在x1

5、力捕食者数量与r成正比,与a成反比食饵数量与d成正比,与b成反比模型解释一次大战期间地中海渔业的捕捞量下降，但是其中鲨鱼的比例却在增加，为什么？rr-1,dd+1捕捞战时捕捞rr-2,dd+2,2<1•••xy食饵(鱼)减少，捕食者(鲨鱼)增加自然环境还表明：对害虫(食饵)—益虫(捕食者)系统，使用灭两种虫的杀虫剂,会使害虫增加，益虫减少。食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进Volterra模型改写多数食饵—捕食者系统观察不到周期震荡,而是趋向某个平衡状态,即存在稳定平衡点加Logistic项有稳定平衡点相轨线是封闭曲

6、线，结构不稳定——一旦离开某一条闭轨线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状。自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状。食饵-捕食者模型(Volterra)的缺点与改进r1=1,N1=20,1=0.1,w=0.2,r2=0.5,2=0.18相轨线趋向极限环结构稳定