形状记忆合金问题的有限元逼近

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1、维普资讯http://www.cqvip.com2000年2月计算数学第22卷第1期V0】．22，NO．1Feb．，2000MATHEMATICANUMERICASINICA形状记忆合金问题的有限元逼近(“一f浙江大学西溪校区数学系，杭州，310028、)6D2FINITEELEMENTAPPROXIMATIONSOFTHETHERMOMECHANICALPHASETRANSITIONSINSHAPEMEM0RYALLOYSChengXiaoliangYeXingde(D印nm饥tMathem矾cs，ZhefiangU

2、nive坩姆XixiCampusZh~iang,3l0028)AbstractInthisDaperdiscreteapproximationsarediscussedtoanonlinear。v0lut。n-arysystem0fpartimdiferentialequationsarisingfrommodellingthestructurltransitionsinshapememoryalloy．Theexistenceanduniquenessofthedcrt。solutl0Ⅱsareprovedander

3、rorestimatesforthefullydiscreteschemearederivedKeywords：Shapememoryalloys，fullydiscretescheme,erstmates关键词形状记忆台金，全离散格式，误差估计市服截1．引言j}线隆懒万钮本文讨论非线性微分万p“￡t一(1一01)u一2+3：+z=，(，)，在内，(·)CvOt一以一1t=g(x，)，在内，(1．2)u(，0)=()，毗(，0)=l()，o(x，0)=()，在内，(1_3)(0，￡)：(f，)=u(0，￡)=u(z，￡

4、)=0，0(1·4)8(O，t)：(i，t)：0，0t曼(1·5)其中n=(0，z)，T>0，t=n×(0，)，系数Pl，2，3，，01，，C是给定常数，，，为未知量，0代表位移及Kelvin温度，其物已知函数．这是形状记忆合金问题的数学模型，理背景及数学模型的建立，参见文献[3，4]．}1997年6月20日收到1)目家重点基础研究专项基金盈浙江省自然科学基金资助项目维普资讯http://www.cqvip.com42计算数学2000芷最近，文【1，2】讨论了方程组(1．1)一(1．5)的数值求解，提出全离散格式．文【

5、2】用Galerkin方法，位移u用四阶微分方程的有限个特征向量张成的空间，温度口用分段线性多项式(折线)空间来近似，给出一个全离散格式，证明了离散近似解的存在唯一性，定性说明收敛于原问题的精确解．文⋯1采用【2l中的离散格式，但位移用四次Hermite插值多项式空间，并导出误差估计阶．本文基于I1，2l的工作，位移用三次Hermite插值多项式空间，温度用分段线性多项式空间，提出一个新的格式，证明了解的存在唯一性，导出相应的误差估计式．特别地，新格式保留了精确解的一个守恒性质．==为简单计，假设1=0，，=0，常数为

6、1单位，即，●l●一(u一乱：+)+一=10，—2在nT内，(1．6)，LU一一舰uf=9(z，t)，在nT内，(1．7)u(x，0)=o()，ut(x，0)=ul(x)，o(x，0)=+％()，在n内，(1．8)1—2，“(0，t)=u(1，t)=“(0，￡)=u(1，t)：u0，00，=nX(0，t)．根据物理意义，假设9(x，t)≥0，0o(x)>0对于非线性方程组(1．6)一(110)，文【2】给出了解的存在一

7、唯一性及正则性结果．记1—4+(1．11)一(1．12)9易知，J(t)=常数，即与时间无关的不变量事实上，dJ(t)／dt即为(1．6)乘上后分步积分加上(1．7)积分后的结果．8dS2．全离散格式出设r=T／M为时间步长，M为正整数，对n=1，2，·一，M，记=nr，I=(～，)．设是区间n=(0，1)的一个拟一致网格：：o=3<2<···<=1记△=(xh一1，)，h=maxhl，hl=z一h_1·定义1

8、{∈：(0)："(1)=0)．(2．3)对时间变量，我们用差分格式．而对空间变量，我们用有限元方法来近似：即用线性有限元空间e^来近似温度变量口，用Hermite三次元来近似位移变量U．于是我们给出方程组(1．6)一(1．加)的下述全离散格式：维普资讯http://www.cqvip.coml期程晓良等：形状记忆合金问题的有限元逼