2018年秋高中数学 平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案

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1、2.4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义学习目标：1.平面向量的数量积．(重点)2.平面向量数量积的几何意义．(难点)3.向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)[自主预习·探新知]1．平面向量数量积的定义非零向量a，b的夹角为θ，数量

2、a

3、

4、b

5、cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝

6、a

7、

8、b

9、cosθ.特别地，零向量与任何向量的数量积等于0.思考：向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？[提示]　数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量．2．向量的数量积

10、的几何意义(1)投影的概念：①b在a的方向上的投影为

11、b

12、cosθ；②a在b的方向上的投影为

13、a

14、cosθ.(2)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度

15、a

16、与b在a的方向上的投影

17、b

18、cosθ的乘积．思考：投影一定是正数吗？[提示]　投影可正、可负也可以为零．3．向量数量积的性质垂直向量a·b＝0平行向量同向a·b＝

19、a

20、

21、b

22、反向a·b＝－

23、a

24、

25、b

26、向量的模a·a＝

27、a

28、2或

29、a

30、＝求夹角cosθ＝不等关系a·b≤

31、a

32、

33、b

34、4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(

35、λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．[基础自测]1．思考辨析(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同．(　　)(2)设非零向量a与b的夹角为θ，则cosθ>0⇔a·b>0.(　　)(3)

36、a·b

37、≤a·b.(　　)(4)(a·b)2＝a2·b2.(　　)[解析]　(1)×.因向量的夹角包括180°，直线的倾斜角不包括180°.(2)√.由数量积的定义可知．(3)×.

38、a·b

39、≥a·b，(4)×.(a·b)2＝(

40、a

41、·

42、b

43、cosθ)2

44、＝a2·b2cos2θ.[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．已知向量a，b满足

45、a

46、＝2，

47、b

48、＝，且a与b的夹角为60°，那么a·b等于________．　[a·b＝

49、a

50、

51、b

52、cos60°＝2××＝.]3．已知

53、b

54、＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为________．2　[设a与b的夹角为θ，则a在b方向上的投影

55、a

56、cosθ＝，所以a·b＝

57、b

58、

59、a

60、cosθ＝3×＝2.][合作探究·攻重难]向量数量积的计算及其几何意义　(1)已知单位向量e1，e2的夹角为，a＝2e1－

61、e2，则a在e1上的投影是________．(2)给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________．(3)已知向量a与b满足

62、a

63、＝10，

64、b

65、＝3，且向量a与b的夹角为120°.求：①(a－b)·(a－b)；②(2a＋b)·(a－b).[思路探究]　根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．(1)　(2)④　[(1)设a与e1的夹角为θ，则a在e1上的投

66、影为

67、a

68、cosθ＝＝a·e1＝(2e1－e2)·e1＝2e－e1·e2＝2－1×1×cos＝.(2)因为两个非零向量a，b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．(3)①(a－b)·(a－b)＝a2－b2＝

69、a

70、2－

71、b

72、2＝100－9＝91.②因为

73、a

74、＝10，

75、b

76、＝3，且向量a

77、与b的夹角为120°，所以a·b＝10×3×cos120°＝－15，所以(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝200＋15－9＝206.][规律方法]　求平面向量数量积的步骤是：(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；(2)分别求

78、a

79、和

80、b

81、；(3)求数量积，即a·b＝

82、a

83、

84、b

85、cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省去.求投影的两种方法：(1)b在a方向上的投影为

86、b

87、cosθ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为

88、a

89、cosθ.(

90、2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为.[跟踪训练]1．(1)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．　[设＝a，＝b，由已知得

91、a

92、＝3，

93、b

94、＝2，a·b＝

95、a

96、

97、b

98、cos60°＝3，因为＝2，所以－＝2(－)，所以＝＋＝a＋b，所以·＝·(λb－a)＝a·b－a2＋b2＝(λ－2)－×9＋×4＝－4，解得λ＝.](2)设非零向量a和b，它们的夹角为θ.①若

99、a

100、＝5，θ＝150°，求a在b方向