高中数学导数及其应用1.5定积分的概念1.5.3定积分的概念学案新人教a版

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1、1.5.3　定积分的概念学习目标　1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．知识点一　定积分的概念思考　分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答案　两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．梳理　一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0

2、，n)，作和式(ξi)Δx＝f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作ʃf(x)dx，即ʃf(x)dx＝f(ξi)，这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．知识点二　定积分的几何意义思考1　根据定积分的定义求得ʃ(x＋1)dx的值是多少？答案　ʃ(x＋1)dx＝.思考2　ʃ(x＋1)dx的值与直线x＝1，x＝2，y＝0，f(x)＝x＋1围成的梯形面积有何

3、关系？答案　相等．梳理　从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分ʃf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分ʃf(x)dx的几何意义．注意：f(x)<0(图象在x轴的下方)时，ʃf(x)dx<0，－ʃf(x)dx等于曲边梯形的面积．知识点三　定积分的性质思考　你能根据定积分的几何意义解释ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx(其中a

4、曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形的面积S1，S2之和，即S＝S1＋S2.梳理　(1)ʃkf(x)dx＝kʃf(x)dx(k为常数)．(2)ʃ[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx.(3)ʃf(x)dx＝ʃf(x)dx＋ʃf(x)dx(其中a

5、的概念题点　定积分的概念解　令f(x)＝3x＋2.(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[1,2]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.(2)近似代替、求和取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则Sn＝ ·Δx＝·＝＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5＝×＋5＝－.(3)取极限ʃ(3x＋2)dx＝Sn＝＝.反思与感悟　利用定义求定积分的步骤跟踪训练1　利用定积分的定义计算ʃ(x＋2)dx.考点　定积分的概念题点　定积分的概念解　令f(x)＝x＋2.将区间[2,3

6、]平均分为n个小区间，每个小区间的长度为Δxi＝，[xi－1，xi]＝，i＝1,2，…，n.取ξi＝xi＝2＋，则f(ξi)＝2＋＋2＝4＋.则f(ξi)Δxi＝·＝＝n·＋＝4＋.∴ʃ(x＋2)dx＝＝.类型二　利用定积分的性质求定积分例2　已知ʃx3dx＝，ʃx3dx＝，ʃx2dx＝，ʃx2dx＝，求下列各式的值．(1)ʃ(3x3)dx；(2)ʃ(6x2)dx；(3)ʃ(3x2－2x3)dx.考点　定积分性质的应用题点　定积分性质的应用解　(1)ʃ(3x3)dx＝3ʃx3dx＝3＝3×＝12.(2)ʃ(6

7、x2)dx＝6ʃx2dx＝6＝6×＝126.(3)ʃ(3x2－2x3)dx＝ʃ(3x2)dx－ʃ(2x3)dx＝3ʃx2dx－2ʃx3dx＝3×－2×＝－.反思与感悟　若函数f(x)的奇偶性已经明确，且f(x)在[－a，a]上连续，则(1)若函数f(x)为奇函数，则ʃf(x)dx＝0.(2)若函数f(x)为偶函数，则ʃf(x)dx＝2ʃf(x)dx.跟踪训练2　若f(x)＝且ʃ(2x－1)dx＝－2，ʃe－xdx＝1－e－1，求ʃf(x)dx.考点　定积分性质的应用题点　定积分性质的应用解　ʃf(x)dx＝ʃ

8、f(x)dx＋ʃf(x)dx＝ʃ(2x－1)dx＋ʃe－xdx＝－2＋1－e－1＝－(e－1＋1)．类型三　利用定积分的几何意义求定积分例3　用定积分的几何意义求下列各式的值．(1)ʃdx；(2).考点　定积分几何意义的应用题点　定积分几何意义的应用解　(1)由y＝得x2＋y2＝4(y≥0)，其图象如图所示．ʃdx等于圆心角为60°的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和，S弓形CED＝××22－