高中数学第三章统计案例疑难规律方法学案苏教版选修

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1、第三章统计案例　　　　　　　　　　　　　　1　本章知识大串烧一、独立性检验的基本思想通过分析数据与图形，得出的估计是粗略的，因为我们说的“大得多”、“小得多”，到底是有多大的差距？也就是说得到的结论是直观上的印象，其实与是否有关还是有较大的差距的．下面从理论上说明两个变量是否有关，请同学们从中体会其思想方法．1．基本思想与图形的联系假设两个变量是无关的，可知如下的比应差不多，即：≈⇒

2、ad－bc

3、＝0.构造统计量χ2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)(此公式如何记忆，其特点是什么？结合2×2列联表理解)，显然所构造的统计量与

4、ad－bc

5、的大小具有一致性．2．独立性检验的思想方法如果χ2的值较大

6、，说明其发生(无关系)的概率很小，此时不接受假设，也就是两个变量是有关系的(称小概率事件发生)；如果χ2的值较小，此时接受假设，说明两分类变量是无关系的．其思想方法类似于数学上的反证法．3．得到χ2的值常与以下几个临界值加以比较：如果χ2>2.706，就有90%的把握认为Ⅰ和Ⅱ有关系；如果χ2>3.841，就有95%的把握认为Ⅰ和Ⅱ有关系；如果χ2>6.635，就有99%的把握认为Ⅰ和Ⅱ有关系；如果χ2>10.828，就有99.9%的把握认为Ⅰ和Ⅱ有关系；如果χ2≤2.706，就认为没有充分的证据显示Ⅰ和Ⅱ有关系．像这种利用统计量χ2来确定在多大程度上可以认为“两个变量有关系”的方法称为两

7、个变量的独立性检验．二、回归分析1．线性回归方程＝x＋，其中：＝＝，＝－.(注：＝主要方便计算，其中(xi，yi)为样本数据，(，)为样本点的中心)公式作用：通过刻画线性相关的两变量之间的关系，估计和分析数据的情况，解释一些实际问题，以及数据的变化趋势．2．样本相关系数的具体计算公式r＝＝公式作用：反映两个变量之间线性相关关系的强弱．当r的绝对值接近1时，表明两个变量的线性相关性越强；当r的绝对值接近0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．规定当

8、r

9、>r0.05时，认为两个变量有很强的线性相关关系．公式联系：(1)由于分子与回归方程中的斜率的分子一样(这也给出了公式的内在联系以及公

10、式的记法)，因此，当r>0时，两个变量正相关；当r<0时，两个变量负相关．(2)常配合散点图判断两个随机变量是否线性相关．散点图是从形上进行粗略地分析判断，这个判断是可行的、可靠的，也是进行线性回归分析的基础，否则回归方程失效；它形象直观地反映了数据点的分布情况．相关系数r是从数上反映了两个变量是否具有线性相关关系，以及线性相关关系的强弱，它较精确地反映了数据点的分布情况，准确可靠.　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　回归分析题目击破1．基本概念函数关系是一种确定关系，而相关关系是一种非确定关系，回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．例1　下列变量之间的关系是相

11、关关系的是________．(填序号)①正方形的边长与面积之间的关系；②水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故发生率之间的关系．分析　两变量之间的关系有两种：函数关系和带有随机性的相关关系．解析　①是函数关系；②不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系；③既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；④降雪量与交通事故发生率之间具有相关关系．答案　②④点评　该例主要考查对变量相关关系概念的掌握．2．线性回归方程设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n个观测值的n个点大致分布在一条直线

12、的附近，这条直线就叫做线性回归直线．例2　假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知y对x呈线性相关关系，试求：(1)线性回归方程＝＋x；(2)估计使用年限10年时，维修费用是多少？分析　因为y对x呈线性相关关系，所以可以用线性相关的方法解决问题．解　(1)制表i12345合计xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.3x4916253690＝4，＝5，x＝90，xiyi＝112.3于是有＝＝1.23，＝－＝5－1.2

13、3×4＝0.08.∴线性回归方程为＝1.23x＋0.08.(2)当x＝10时，＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用10年时维修费用约是12.38万元．点评　已知y对x呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则，应首先进行相关性检验．3．非线性回归问题分析非线性回归问题的具体做法(1)若问题中已给出经验公式，这时可以将解释变量进行变换(换元)，将变量的非线性关系转化为线性关系，将问题化为线性回归分析问题