实变函数论课件12

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1、第12讲可测函数的性质与逼近定理目的：熟练掌握可测函数的性质，理解Egoroff定理的科学意义，掌握其证明。重点与难点：Egoroff定理的科学意义与证明。第12讲可测函数的性质与逼近定理基本内容：一．可测函数的性质（续）（1）可测函数乘积的性质问题1：如何将集合E{x

2、f(x)g(x)<α}用形如E{x

3、f(x)<α}、E{x

4、g(x)<α}、E{x

5、f(x)≥α}、E{x

6、g(x)≥α}的集合表示？第12讲可测函数的性质与逼近定理性质3若都是E上的可测函数则在E上乎处处有意义时，在E上可测。(iii)证明(iii)。令第12讲可测函数的性质与逼近定理则第12讲可测函数的性质与逼

7、近定理显然E1,E2都是可测集。在E1，E2上都可测。由性质2，只需证明在E1，E2上都可测。注意到在E3上，都有意义，从而可测，于是由(i),(ii)知第12讲可测函数的性质与逼近定理是可测集,进而都可测,这说明也是E3上的可测函数。第12讲可测函数的性质与逼近定理（2）   可测函数商的可测性问题2：可否直接应用乘积的可测性证明商的可测性？第12讲可测函数的性质与逼近定理性质3若都是E上的可测函数则当在E上几乎处处有意义时，在E上可测。(iv)证明（iv）。由（iii），仅需证明是可测函数就可以了。第12讲可测函数的性质与逼近定理对任意第12讲可测函数的性质与逼近定理由可测性立

8、得可测，即是E上的可测函数，证毕。（3）   可测函数序列的上、下极限之可测性问题3：假设h(x)=limfn(x),如何用形如E{x

9、fn(x)<α}、E{x

10、fn(x)≥α}的集合表示集合E{x

11、h(x)<α}?第12讲可测函数的性质与逼近定理问题4：如果h(x)是fn(x)的上极限，情形又如何？一个很重要的问题是：可测函数序列的极限是否是可测函数？到目前为止，至少有三种意义下的极限概念，其一是“一致收敛”、其二是“处处收敛”（即在给定的集上逐点收敛），其三是“几乎处处收敛”（即在给定的集上，除去一个零测第12讲可测函数的性质与逼近定理集后逐点收敛）。显然，如果我们证明了一个几

12、乎处处收敛的可测函数序列的极限是可测函数，则上述任何意义下的极限函数都是可测的。为此，先证明一个引理。引理1假设是上的可测函数序列，则第12讲可测函数的性质与逼近定理都是上的可测函数。都是上的可测函数。证明：对任意实数，显然有故由的可测性立知f可测。而第12讲可测函数的性质与逼近定理所以也是上的可测函数，记则由（i）知都是上的可测函数，第12讲可测函数的性质与逼近定理由此立得，都可测。证毕。第12讲可测函数的性质与逼近定理（4）几乎处处收敛与几乎处处相等定义3设是E上的函数列，是E上的函数，若存在，使且对任意，有第12讲可测函数的性质与逼近定理，则称在上几乎处处收敛到f，记作性质4

13、如果是E上的可测函数序列，且几乎处处收敛到，即第12讲可测函数的性质与逼近定理则在E上可测。证明：由于几乎处处收敛到，故存在零测集，使得在上处处收敛到,由引理1知是上的可测函数，从而也是E上的可测函数。证毕。我们已经看到，任何非负可测函数都可以第12讲可测函数的性质与逼近定理让单调递增的简单函数逐点逼近，那么一般的可测函数情形如何呢？为此，我们可以将上可测函数分成正部和负部如下：显然第12讲可测函数的性质与逼近定理问题5：f(x)的可测性与f+(x)、f-(x)的可测性是否等价？问题6：

14、f(x)

15、的可测性与f+(x)、f-(x)的可测性是否等价？问题7：f(x)的可测性与

16、f(x

17、)

18、的可测性是否相同？由引理1的（i），知都是第12讲可测函数的性质与逼近定理非负可测函数，于是存在单调简单函数列，使（任意），（任意）所以不难看到，两个简单函数的差仍是简单函数，事实上，若第12讲可测函数的性质与逼近定理则且这说明是简单函数列的极限。从及很容易得到下面的性质5在E上可测当且仅当，都第12讲可测函数的性质与逼近定理在E上可测。当在上可测时，也在E上可测。也许有人会问，的可测性与的可测性是否等价？这很容易从下面的例子中找到答案。例设是不可测集，定义[0,1]上函数如下：第12讲可测函数的性质与逼近定理则是[0,1]上的不可测函数，但可测。第12讲可测函数的性质与逼近定

19、理一．Egoroff定理（1）近一致收敛定义（2）处处收敛与一致收敛的关系问题8：区间上处处收敛的函数序列可否通过挖去长度充分小的区间使其在剩下的集合中一致收敛？第12讲可测函数的性质与逼近定理问题9：一般情况下，一个几乎处处收敛的函数序列能否经适当的限制使其一致收敛？问题10：如何表示函数序列不收敛的点集？问题11：能否利用问题10构造一个测度很小的集合，使函数序列在其余集上一致收敛？第12讲可测函数的性质与逼近定理函数逼近是分析及计算中十分重要的问题，它的本质就是