2019届高考数学复习平面向量数系的扩充与复数的引入第3讲平面向量的数量积及应用举例分层演练直击高考文

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1、第3讲平面向量的数量积及应用举例1．(2018·无锡质检)已知向量a＝(2，1)，b＝(5，－3)，则a·b的值为________．[解析]因为a·b＝(2，1)·(5，－3)＝10－3＝7.[答案]72．等边三角形ABC的边长为1，＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a＝________．[解析]由题意知

2、a

3、＝

4、b

5、＝

6、c

7、＝1，且a与b的夹角为120°，b与c的夹角为120°，c与a的夹角也为120°.故a·b＋b·c＋c·a＝－.[答案]－3．已知

8、a

9、＝3，

10、b

11、＝4，且a与b不共线，若向量a＋kb与a－kb垂直，则k＝________．[解

12、析]因为(a＋kb)⊥(a－kb)，所以(a＋kb)·(a－kb)＝0，即

13、a

14、2－k2

15、b

16、2＝0.又因为

17、a

18、＝3，

19、b

20、＝4，所以k2＝，即k＝±.[答案]±4．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点(含边界)，则·的最大值为________．[解析]由平面向量的数量积的几何意义知，·等于与在方向上的投影之积，所以(·)max＝·＝·(＋)＝2＋2＋·＝9.[答案]95．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.[解析]由题意

21、得：＝⇒＝⇒＝⇒m＝2.[答案]26．(2018·南通市高三第一次调研测试)在△ABC中，若·＋2·＝·，则的值为________．解析：由·＋2·＝·，得2bc×＋ac×＝ab×，化简可得a＝c.由正弦定理得＝＝.答案：7．(2018·南京高三模拟)在凸四边形ABCD中，BD＝2，且·＝0，(＋)·(＋)＝5，则四边形ABCD的面积为________．解析：(＋)·(＋)＝(－＋)·(－＋)＝(＋)·(－)＝－＝5，即AC2－BD2＝5.因为BD＝2，所以AC＝3，所以四边形ABCD的面积为AC×BD＝×2×3＝3.答案：38．(2018·台州月考)平面向

22、量a，b满足

23、a

24、＝2，

25、a＋b

26、＝4，且向量a与向量a＋b的夹角为，则

27、b

28、为________．[解析]因为向量a与向量a＋b的夹角为，所以cos＝＝＝，解得a·b＝0，即a⊥b.所以

29、a

30、2＋

31、b

32、2＝

33、a＋b

34、2，从而解得，

35、b

36、＝2.[答案]29．在△ABC中，AB＝10，AC＝6，O为BC的垂直平分线上一点，则·＝________．[解析]取BC边的中点D，连结AD，则·＝(＋)·＝·＋·＝·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝(62－102)＝－32.[答案]－3210．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·

37、的最大值为________．　[解析]法一：以点A为原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，又E在AB边上，故设E(t，0)，t∈[0，1]，则＝(t，－1)，＝(0，－1)，所以·＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为＝(1，0)，所以·＝(t，－1)·(1，0)＝t，又t∈[0，1]，故·的最大值为1.法二：由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB＝1，所以·＝

38、

39、·1＝1，当E运动到B点时，在方向上的投影最大即为DC＝1，所以(·)max＝

40、

41、·1＝1.[答案]1　11

42、1.如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，＝x＋y.(1)如果＝2，求x，y的值；(2)如果＝3，

43、

44、＝4，

45、

46、＝2，且与的夹角为60°时，求·的值．[解](1)由＝2，所以－＝2(－＋)，即3＝2＋，所以x＝，y＝.(2)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，＝－，所以·＝·(－)＝－2＋2＋·＝－9.12．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．[解](1)证明：因为m∥n，所以

47、asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是三角形ABC外接圆的半径，所以a＝b.所以△ABC为等腰三角形．(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.所以a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，所以ab＝4(舍去ab＝－1)，所以S＝absinC＝×4×sin＝.1．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．解析：a与b的夹角为锐角，则a·b＞0且a与b不共线，则解得λ＜－或0＜λ＜或λ＞，所以λ的取值范围是∪∪.答案

48、：∪∪2．(2018·江西省师大附中联考)在直角三角