高中数学推理与证明6.2直接证明与间接证明6.2.2间接证明：反证法分层训练湘教版

《高中数学推理与证明6.2直接证明与间接证明6.2.2间接证明：反证法分层训练湘教版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、6.2.2　间接证明：反证法一、基础达标1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是(　　)①与已知条件矛盾　②与假设矛盾　③与定义、公理、定理矛盾　④与事实矛盾A．①②B．①③C．①③④D．①②③④答案　D2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为(　　)A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案　C解析　假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“ay或x

2、三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有(　　)A．0个B．1个C．2个D．3个答案　B解析　①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除答案　B解析　“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能

3、被5整除”．5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为________．答案　a，b，c都不是偶数解析　a，b，c中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a，b，c都不是偶数．6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．答案　存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析　“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．7．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证f(x)＝0无整数根

4、．证明　设f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c.①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．二、能力提升8．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，试证“数列{xn}对任意的正整数n都满足xn>xn＋1”，当此题用反证法否定结论时应为(　　)A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1B．存在正整数n，使xn＝xn＋1C．存在正整数n，使xn

5、≥xn＋1D．存在正整数n，使xn≤xn＋1答案　D解析　“任意”的反语是“存在一个”．9．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋(　　)A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2答案　C解析　假设a＋<2，b＋<2，c＋<2，则＋＋<6.又＋＋＝＋＋≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.10．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．答案　a≤－2或a≥－1解析　若两方程均无实根，

6、则Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)<0，∴a<－1或a>.Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)<0，∴－20，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证a>0，b>0，c>0.证明　用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b)，又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab即

7、ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，这与已知ab＋bc＋ca>0矛盾，所以假设不成立．因此a>0，b>0，c>0成立．12．已知a，b，c∈(0,1)，求证(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.证明　假设三个式子同时大于，即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>，①又因为0

8、·(1－c