1.3.1_函数的单调性与导数

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1、1．3导数在研究函数中的应用1．3.1函数的单调性与导数第一章导数及其应用学习导航学习目标1.了解函数的单调性与导数的关系．2．利用导数研究函数的单调性．(重点、难点)3．求函数(其中多项式函数一般不超过三次)的单调区间．(重点)学法指导结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想.第一章导数及其应用增减注意：若在某区间内有有限个点使f′(x)＝0，在其余的点恒有f′(x)＞0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形类似)．也就是说，在某区间内f′(x)＞0是f(x)在此区间内为增函数的充

2、分条件，而不是必要条件．1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，则f′(x)＞0.()(2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图象就越“平缓”．()2．函数f(x)＝x2＋x在(0，＋∞)上为()A．减函数B．增函数C．常数函数D．不能确定××B3．函数f(x)＝x3－3x2＋1是减函数的区间为()A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．(－∞，0)D．(0,2)4．函数y＝x2－4x＋a的增区间为___________，减区间为____________．D(2，＋∞)(－∞，2)函数与函数

3、的图像方法归纳研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素：对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．1．已知导函数f′(x)的下列信息：当1＜x＜4时，f′(x)＞0；当x＞4或x＜1时f′(x)＜0；当x＝4或x＝1时f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．(链接教材P24例1)解：当1＜x＜4时，f′(x)＞0,可知f(x)在此区间内单调递增；当x＞4，或x＜1时

4、，f′(x)＜0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．判断(或证明)函数的单调性方法归纳利用导数证明或判断函数单调性函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)＞0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．求函数的单调区间方法归纳(1)求函数f(x)单调区间的步骤是：先确定定义域

5、,再求出f′(x)，最后通过解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0求出单调区间．正确运用求导公式对函数进行求导，准确熟练地解出不等式是求函数单调区间的基本功．(2)当函数的增减区间有多个时，区间之间不能用并集符号合并,也不能用“或”，应该用“，”隔开或用“和”．3．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x2－lnx.数学思想分类讨论思想确定函数的单调性典例演变探究与参数有关的函数单调性问题已知函数f(x)＝x3－ax－1，试讨论f(x)的单调性．[拓展探究]1.讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参数不等式

6、的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对函数单调性的影响以及分类讨论的标准．2．此题对含参数的函数的单调性进行了讨论．另外,已知函数的单调性确定参数问题更是各类考试的重点,应注意掌握，如更换本题的条件，可得如下衍变：1．f(x)不变，若f(x)为单调递增函数，求实数a的取值范围．2．f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围．3．f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围．4．f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的取值．5．f(

7、x)不变,若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放