线性代数-第二章矩阵与向量2.1消元法与矩阵的初等变换

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1、第二章矩阵与向量Ch2矩阵与向量§2.1消元法与矩阵的初等变换§2.2向量及其线性运算§2.3向量组的线性相关性§2.4矩阵的秩第二章矩阵与向量§2.1消元法与矩阵的初等变换一、消元法解线性方程组二、矩阵的初等变换三、小结思考题第二章矩阵与向量本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性方程组有非零解的充分必要条件和非齐次线性方程组有解的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程组的方法．内容丰富，难度较大.第二章矩阵与向量一、消元法解线性方程

2、组分析：用消元法解下列方程组的过程．引例求解线性方程组2xx2x4123xx2x1(1)1234xx4x2123第二章矩阵与向量解：xx21x12312(1)2x1x22x34(2)4xx4x2123xx21x123-21+23xx22(3)23-41+33xx4223第二章矩阵与向量xx21x123-2+33xx22(4)232x43xx312-3+23x22(5)

3、3+12x43第二章矩阵与向量1x1+31131x22231x4232我们把以上三种变换叫做方程组的初等变换.于是，加减消元法解线性方程组就是用初等变换来化简方程组.第二章矩阵与向量小结：始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（i与j相互替换）（2）以不等于０的数乘某个方程；（以ik替换i）（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（以ikj替换i）第二章矩阵与向量2．上述三种变换都是可逆的．ijij若(A)(B),则(B)(A);i

4、kik若(A)(B),则(B)(A);ikjikj若(A)(B),则(B)(A).由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．第二章矩阵与向量因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．定义2.1.1由mn个数aiji1,2,,m;j1,2,,n排成的m行n列的数表aaa11121naaaA21222naaam12mmn称为mn矩阵.简称mn阵.第二章矩

5、阵与向量这mn个数称为A的元素,,简称为元a叫做矩阵Aij的第ij行第列元素.元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.矩阵简记为AAaa.mnijmnij行数与列数都等于n的矩阵A，称为n阶方阵.1035例如是一个24实矩阵,96431362i222是一个3阶方阵.222第二章矩阵与向量例如，一般n元线性方程组axax...axb1111221nn1axax...axb2112222nn2(8)...

6、........................................axax...axbm11m22mnnm的未知量的系数可以用矩阵Aa()来表示，ijmn此时称A为方程组的系数矩阵.第二章矩阵与向量方程组的系数和常数项可以用一个mn(1)矩阵aaab11121n1aaabA21222n2aaabm12mmnm来表示，并称A为线性方程组(8)的增广矩阵.增广矩阵完全可表示为线性方程组，因此可以

7、利用矩阵来研究线性方程组。由于线性方程组作初等变换就相当于对它的增广矩阵的行作相应的变换，于是有下面的定义.第二章矩阵与向量二、矩阵的初等变换定义2.1.2下面三种变换称为矩阵的初等行变换:1对调两行（对调ij,两行,记作rijr）；2以数k0乘以某一行的所有元素;（第i行乘k,记作rk）i3把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去（第j行的k倍加到第i行上记作rkr）.ij第二章矩阵与向量同样可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．矩阵的初等列变换与初等

8、行变换统称为初等变换．初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．rrij逆变换rirj;1rik逆变换ri()或rik;krikrj逆变换ri(k)rj或rikrj.第二章矩阵与向量如果矩阵AB经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵A与B等价，记作A~B．等价关系的性质：（1）反身性AA；（2）对称性若AB,则BA;（3）传递性若ABB,C,则AC.具有上述三条性质的关系称为等价．例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价第二章矩阵与向量例1用