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1、第三节第三节向量组的线性相关性向量组的线性相关性前面我们讨论了几何空间中向量的线性nn相关性。接下来我们在n维向量空间VK=()R中讨论向量组的线性相关性。向量组的线性相关性。一、线性组合与线性表示的概念定义：给定向量组A:α,α,?,α，对于任何一12m组实数k，k，?,k，向量12mkα+kα+?+kα1122mm称为向量组的一个线性组合，k1，k2，?,km称为这个线性组合的系数.给定向量组A:α,α,?,α和向量b,如果存在12m一组数λ，λ，?,λ，使12mb=λα+λα+?λα1122mm则向量b是向
2、量组A的线性组合，这时称向量b能由向量组A线性表示．即线性方程组xα+xα+?+xα=b1122mm有解.二、线性相关性的概念二、线性相关性的概念定义:给定向量组A:α,α,?,α,如果存在不12m全为零的数k,k,?,k使12mkα+kα+?+kα=01122mm则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．?注意:1.若α1,α2,,αn线性无关,则只有当?λ==λ=0时,才有1n?λα+λα++λα=0成立.1122nn2.对组于任一向量,不是线性无关就是线性相关.3.向量组只包含一个向量α时,若α=0则说α
3、线性相关,若α≠0,则说α线性无关.4.包含零向量的任何向量组是线性相关的.5.对于含有两个向量的向量组,它线性相关的充要条件是两向量的分量对应成比例，几何意义是两向量共线；三个向量相关的几何意义是三向量共面.例１n维向量组()T()T()Te=1,0,?,0,e=0,1,?,0,?，e=0,0,?,112n称为n维单位坐标向量组(自然基),讨论其线性相关性.例２已知⎛10⎞⎛⎞⎛⎞2⎜⎟⎜⎟⎜⎟124α=⎜⎟，，α=⎜⎟α=⎜⎟，123⎜14⎟⎜⎟⎜⎟6⎜⎜⎟⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝16⎠⎝⎠⎝⎠8试讨论向量组α，
4、α，α及α，α的线性相关性.12312例3已知向量组α,α,α线性无关,b=α+α,123112b=α+α,b=α+α,试证b,b,b线性无关.223331123证设有x,x,x使123xb+xb+xb=0112233即x（α+α）+x(α+α)+x(α+α)=0,112223331亦即（x+x)α+(x+x)α+(x+x)α=0,131122233因α，α，α线性无关，故有123⎧x1+x3=0,⎪⎨x1+x2=0,⎪⎩x2+x3=0.由于此方程组的系数行列式101110=2≠0011故方程组只有零解x=x=x
5、=0，所以向量组123b,b,b线性无关.123重要思路⎛⎞a1i⎜⎟aα∈nα=⎜⎟2i=设Ki,,(1,2,?,m)ii⎜⎟@⎜⎟⎜⎟a⎝⎠ni则向量组αα，，?，α是否线性相关12m⇔线性方程组ααxx++?+αx=01122mm是否有非零解。这里方程组αxx+α+?+αx=01122mm即是⎧ax+ax++?ax=0,1111221mm⎪⎪ax+ax++?ax=0,2112222mm⎨?????⎪⎪ax+ax++?ax=0.⎩nn1122nmm特别地若则mn=α,,有α,?,α线性相关12n⇔⎛⎞aa?a
6、11121n⎜⎟aa?a矩阵A==⎜⎟21222n的行列式A0.⎜⎟????⎜⎟⎜⎟aa?a⎝⎠nn12nn三、线性相关性的判定三、线性相关性的判定定理1向量组α1,α2,?,α（当mm≥2时）线性相关的充分必要条件是α1,α2,?,αm中至少有一个向量可由其余m−1个向量线性表示．定理2(1)若向量组A：α,α,?,α线性相关,则12m向量组B:α,?,α,α也线性相关.反言之,若向1mm+1量组B线性无关,则向量组A也线性无关.(2)如果向量β可以由向量组α，α，?，12α线则性表示，表示式唯一的充要条件是α
7、，m1α，?，α线无性关。2m（3）m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关.(4)设向量组A:α,α,?,α线性无关,而向量12m组B:α,?,α,b线性相关,则向量b必能由向量组1mA线性表示,且表示式是唯一的.例4⎛a1j⎞⎛a1j⎞⎜⎟⎜⎟⎜a2j⎟⎜a2j⎟⎜⎟α=,b=@,(j=1,2,?,m),设j⎜@⎟j⎜⎟⎜⎜⎟⎟⎜arj⎟a⎝rj⎠⎜a⎟⎝r+1,j⎠即α添上一个分量后得向量b.若向量组A：α,α,jj12?,α线性无关,则向量组B：b,b,?,b也线性无m12m关.反言
8、之，若向量组B线性相关,则向量组A也线性相关.练习1、向量组α=（3，2，-5，4），α=（2，1，-3，-5），12α=（3，5，-13，11），α=（4，5，-14，-3）是否线34性相关。2、把β=（1，2，1）表示为α=（1，1，1），1α=（1，1，-1），α=（1，-1，-1）的线性23组合。第四节第四节线性子空间线性子空间一、一、nn维向量空间的概念维向量空
