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《高等代数与解析几何5.1-5.2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第五章矩阵的秩与矩阵的运算概述1、主要内容*线性方程组的秩向量组的秩矩阵的秩*利用矩阵的秩讨论线性方程组的解*矩阵与线性变换*矩阵的运算2、历史透析*矩阵论的创始人是英国数学家凯莱——《矩阵论研究报告》（1858年发表）。*英国数学家史密斯和道奇森给出利用矩阵的秩讨论线性方程组的解的判断性质.§1向量组的秩一、回顾*线性方程组的秩*利用线性子空间定义向量组的秩rank{α,αα,,??}=dimL(α,α,,α)12nn12二、向量组之间的关系n1、定义1.1给定向量空V(=K)中的两个向量组:(I)={α
2、1,?,αs}与(II)={β1,?,βt}若(I)中每个向量都可有(II)线性表示,则称(I)可由(II)线性表示;若(I)与(II)可以互相线性表示,则称(I)与(II)(线性)等价,记为(I)(II).≅例如,在n维向量空间V中,任何一个向量组都可以由V的基线性表示.V的任意两个基都是等价的.2、向量组等价具有三条基本性质3、向量组等价的其它性质命题1.11)向量组(I)={α1,?,αs}可由向量组(II)={β,?,β}1t线性表示⇔L(α1,?,αs)⊆L(β1,?,βt).2)向量组(I)与(
3、II)等价⇔(α,?,α)=(β,?,β).L1sL1t推论1.2若向量组(I)可由向量组(II)线性表示,而(II)又可由向量组(III)线性表示,则(I)可由(III)线性表示.推论1.3若向量组(I)可由向量组(II)线性表示,则(I)的秩≤(II)的秩;若向量组(I)(II),则(I)的秩=(II)的秩.≅三、向量组的极大无关组——极大的线性无关向量组1、定义1.2向量空间V中非零向量组的一个部分组称为一个极大(线性)无关组,如果这个向量组是线性无关的,并且从这个向量组的其余向量(若还有的话)中任取
4、一个向量添进去,得到的新的部分组都是线性相关的.例1.1设有向量组α=(1,1,1),α=(1,2,3),α=(3,4,5),α=(0,1,2)1234则α,α是这个向量组的一个极大无关组.这是因为12,α=α+αα=−α+ααα是线性无关的,且3212,412.12同理可验证,α13,;αα1,α4;α2,;αα32,α4;α3,α4也都是这个向量组的极大无关组.故一个向量组的极大无关组一般不唯一.2、向量组的极大无关组的性质命题1.4(I)={α1,?,αs}的一个部分组(II)={αi,?,αi}1r
5、是(I)的极大无关组⇔(II)是子空间L(α1,?,αs)的基.命题1.5任何非零向量组都存在极大无关组.推论1.6非零向量组的任一极大无关组都与这个向量组等价。推论1.7非零向量组的每个极大无关组都含有相同个数的向量,其个数等于它张成的子空间的维数,也就是向量组的秩.设(I)={,α1?,αs},则(I)的秩=dimL(α1,?,αs)=(I)的极大无关组所含的向量的个数.推论1.8设非零向量组(I)的秩为r,则(I)中任意r个线性无关的向量构成的部分组都是(I)的极大无关组.推论1.9向量组α1,?,α
6、s线性无关⇔向量组α1,?,αs的秩等于s.问题：给定一个向量组{,ααα,?,}，怎12s样求其极大无关组和基呢？问题可转化为求L(,ααα,?,)的基和维数。12s§2矩阵的秩一、矩阵的行秩和列秩给定数域K上的一个m×n矩阵⎛a11a12?a1n⎞⎜⎟⎜a21a22?a2n⎟A=⎜⎟@@B@⎜⎟⎜⎟aa?a⎝m1m2mn⎠把A的行向量记为nα=(a,a,?a)∈K,i=1,2,?,m.ii1i2in把A的列向量记为⎛a1j⎞⎜⎟⎜a2j⎟mβ=∈K,j=1,2,?,n.j⎜⎟@⎜⎟⎜a⎟⎝mj⎠nmL(
7、α1,?,αm)⊂K称为A的行空间.L(β1,?,βm)⊂K称为A的列空间.定义2.1一个矩阵A的行向量组的秩(即行空间的维数)称为A的行秩;A的列向量组的秩(即列空间的维数)称为A的列秩.二、矩阵秩的讨论命题2.1行阶梯形矩阵T的行秩与列秩相等,都等于非零行的数目.T的非零行就是T的行向量组的极大无关组;T的主元所在的列就是T的列向量组的极大无关组.证明设T有r个非零行,则T有r个主元,设它们分别位于第j,j,?,j列.于是T有如下形式12r⎛⎜0?0c1,j1?c1,j2?c1,jr?c1n⎞⎟⎜0?0
8、0?c2,j2?c2,jr?c2n⎟⎜⎟@@@?@?@?@⎜⎟T=⎜0?00?0?c?c⎟r,jrrn⎜⎟0?00?0?0?0⎜⎟⎜@@@@@@⎟⎜⎟⎝0?00?0?0?0⎠其中c1,j1≠0,?,cr,jr≠0.可以直接验证T前r行就是T的行向量组的极大无关组,故T的行秩=r.容易证明，主元所在的列构成列向量组的极大无关组。问题：给定一个一般的矩阵，怎样求其行秩和列秩呢？定理2.2矩阵的初等行变换不改变矩阵的行
