高等代数与解析几何5.2-5.3

《高等代数与解析几何5.2-5.3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、§2矩阵的秩(续)推论2.5设矩阵A经过初等行变换变成行阶梯矩阵T,则A的秩等于T的非零行的数目.设T的主元所在的列为第j1,j2,?,jr列,则A的第j1,j2,?,jr就是A的列向量组的一个极大无关组.推论2.5给出了求一个向量组的秩与极大无关组的一种方法.例1求如下向量组的一个极大无关组和秩α=(2,1,4,3),α=(−1,1,−6,6),α=(−1,−2,2,−9),123α=(1,1,−2,7),α=(2,4,4,9)45解以这5个向量为列向量,构造一个矩阵A,作初等行变换,把A化为行阶梯矩阵T:⎛2−1−112⎞⎛11−214⎞⎜⎟

2、⎜⎟⎜11−214⎟⎜0−33−1−6⎟A=→⎜⎟⎜⎟4−62−240−1010−6−12⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝36−979⎠⎝03−34−3⎠⎛11−214⎞⎛11−214⎞⎜⎟⎜⎟⎜0−33−1−6⎟⎜0−33−1−6⎟→→⎜⎟⎜⎟0−3030−18−36000−824⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝03−34−3⎠⎝0003−9⎠⎛11−214⎞⎛11−207⎞⎜⎟⎜⎟⎜0−33−1−6⎟⎜0−330−9⎟→→⎜⎟⎜⎟0001−30001−3⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝00000⎠⎝00000⎠⎛11−207⎞⎛10−104⎞⎜⎟⎜⎟⎜01−103⎟⎜01−103⎟→

3、→=T⎜⎟⎜⎟0001−30001−3⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝00000⎠⎝00000⎠由此可知,此向量组的秩为3,而α1,α2,α4是此向量组的一个极大无关组,且有α=−α−α,α=4α+3α−3α3125124例2设矩阵⎡⎤12−153⎢⎥A=−243−35=(β,ββ,,β,β).⎢⎥12345⎢⎥⎣⎦12−−4340(1)求rank()A.(2)求L(,ββ,β,β,β)的基.12345(3)求ββ,,β的线性关系.134推论2.6矩阵的初等列变换不改变矩阵的秩.矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.T推论2.7r(A)=r(A).推论2.8初等变换,

4、AT⎯⎯⎯⎯→行阶梯形矩阵则rank()A=T的非零行行数。命题2.9n阶方阵A的秩等于n的充分必要条件是A≠0.证明设A的列向量组为β1,?,βn,则r(A)=n⇔r{β,?,β}=n⇔β,?,β线性无关⇔A≠01n1n定义2.3若一个n方阵的秩等于n,则称它是满秩矩阵.若一个m×n矩阵的秩等于它的行数m,则称它为行满秩矩阵,若等于它的列数n,则称它为列满秩矩阵.定理2.10一个m×n矩阵A的秩等于r的充分必要条件是A有一个r阶子式不等于零,并且所有r+1阶子式(如果有的话)全为零.推论2.11设m×n矩阵A的秩等于r,则A的不等于零的r阶子式

5、所在的列就是A的列向量组的一个极大无关组;所在的行就是A的行向量组的一个极大无关组.归纳*线性方程组的秩=增广矩阵的秩=列（行）向量组的秩=列（行）空间的维数*怎样求解线性方程组？*怎样求矩阵的秩？*给定一个向量组{,ααα,?,}，怎样求12s其极大无关组和秩呢？*怎样求L(,ααα,?,)的基和维数？12s§3用矩阵的秩判断线性方程组的解回忆对线性方程组解的情况的讨论*化线性方程组为阶梯形方程组*利用阶梯形方程组讨论解的情况定理3.1(线性方程组有解的判别定理)线性方程组⎧ax+ax+?+ax=b1111221nn1⎪⎪a21x1+a22x2

6、+?+a2nxn=b2(3.1)⎨⎪???????????⎪ax+ax+?+ax=b⎩m11m22mnnm有解的充分必要条件是它的系数矩阵A与增广矩阵~~A的秩相等,即r(A)=r(A).并且~(1)当r(A)=r(A)=n时,方程组(3.1)有唯一解;~(2)当r(A)=r(A)

7、必要性)如果(3.1)有解,则β可由α1,α2,?,αn线性表示.于是向量组α1,α2,?,αn与α1,α2,?,αn,β等价,从而~它们的秩相等，故r(A)=r(A).~(充分性)如果r(A)=r(A).则dimL(α,α,?,α)=dimL(α,α,?,α,β)12n12n又因为L(α1,α2,?,αn)⊆L(α1,α2,?,αn,β)所以L(α,α,?,α)=L(α,α,?,α,β)12n12n故β∈L(α1,α2,?,αn),即β可由α1,α2,?,αn线性表示.从而线性方程组(3.1)有解.推论3.1齐次线性方程组有非零解的充分必要条件

8、是它的系数矩阵的秩小于未知量的个数.推论3.2如果一个齐次线性方程组的方程个数小于未知量个数,则它一定有非零解.例3ab,为何值时，线性