导数常见题型方法总结

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1、.导数题型总结例1：设函数在区间D上的导数为，在区间D上的导数为，若在区间D上，恒成立，则称函数在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，（1）若在区间上为“凸函数”，求m的取值范围；（2）若对满足的任何一个实数，函数在区间上都为“凸函数”，求的最大值.解:由函数得（1）在区间上为“凸函数”，则在区间[0,3]上恒成立解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于解法二：分离变量法：∵当时,恒成立,当时,恒成立等价于的最大值（）恒成立，而（）是增函数，则(2)∵当时在区间上都为“凸函数”则等价于当时恒成立变更主元法再等价于在恒成立（视为关于m的一次函数最值问

2、题）-22例2：设函数（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的不等式恒成立，求a的取值范围.解：（Ⅰ）..3aaa3a令得的单调递增区间为（a,3a）令得的单调递减区间为（－，a）和（3a，+）∴当x=a时，极小值=当x=3a时，极大值=b.（Ⅱ）由

3、

4、≤a，得：对任意的恒成立①则等价于这个二次函数的对称轴（放缩法）即定义域在对称轴的右边，这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。上是增函数.（9分）∴于是，对任意，不等式①恒成立，等价于又∴点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系例3：已知函数图象上一点处

5、的切线斜率为，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求的值域；（Ⅲ）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围。解：（Ⅰ）∴，解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减又∴的值域是（Ⅲ）令思路1：要使恒成立，只需，即分离变量思路2：二次函数区间最值二、参数问题1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话

6、的区别：前者是后者的子集例4：已知，函数．..（Ⅰ）如果函数是偶函数，求的极大值和极小值；（Ⅱ）如果函数是上的单调函数，求的取值范围．解：.（Ⅰ）∵是偶函数，∴.此时，，令，解得：.列表如下：(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,+∞)+0－0+递增极大值递减极小值递增可知：的极大值为，的极小值为.（Ⅱ）∵函数是上的单调函数，∴，在给定区间R上恒成立判别式法则解得：.综上，的取值范围是.例5、已知函数（I）求的单调区间；（II）若在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想a-1-1解：（I）1、当且仅当时取“=”号，单调递增。2、单调增区间：单调

7、增区间：（II）当则是上述增区间的子集：1、时，单调递增符合题意2、，综上，a的取值范围是[0，1]。2、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)（或与x轴）的交点，即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可。例6、已知函数，，且在区间上为增函数．（1）求实数的取值范围；（2）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．解：（

8、1）由题意∵在区间上为增函数，∴在区间上恒成立（分离变量法）..即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为（2）设，令得或由（1）知，①当时，，在R上递增，显然不合题意…②当时，，随的变化情况如下表：—↗极大值↘极小值↗由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不同的实根，故需，即∴，解得综上，所求的取值范围为根的个数知道，部分根可求或已知。例7、已知函数（1）若是的极值点且的图像过原点，求的极值；（2）若，在（1）的条件下，是否存在实数，使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在，求出实数的取值范围；否则说明理由。高1考1资1源2网解：（1

9、）∵的图像过原点，则，又∵是的极值点，则-1（2）设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点，等价于有含的三个根，即：整理得：即：恒有含的三个不等实根有含的根，则必可分解为，故用添项配凑法因式分解，..十字相乘法分解：恒有含的三个不等实根等价于有两个不等于-1的不等实根。题2切线的条数问题，即以切点为未知数的方程的根的个数例7、已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．（1）由题意得：∴在上；在上；在上因此在处取得极小值∴①，②，③由①②③联立得：，∴（2）设切点Q，

10、过令，求得：，方程有三个根。需：故：；因此所求实数的范围为：题3已知在给定区间上的极值点个数则