2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 学案

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1、高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家2.2.3向量数乘运算及其几何意义课前预习学案预习目标：通过对比物理中的一些向量与数量之间的运算关系，引入向量与数量之间的乘法运算，同时也为该运算赋予其物理意义。预习内容：引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系，位移与速度的关系。这些公式都是实数与向量间的关系。　　师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出和向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素

2、有关？生：师：很好！本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题，（板书课题：实数与向量的乘积）课内探究学案学习目标：1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。学习过程：1、探索研究1）定义：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考）　　可根据小学算术中的

3、解释，类比规定：实数与向量的积就是-5-www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家，它还是一个向量，但要对实数与向量相乘的含义作一番解释才行。　　实数与向量的积是一个向量，记作.它的长度和方向规定如下：　　（1）.　　（2）.2）运算律：　　问：求作向量和（为非零向量）并进行比较，向量与向量相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）　　生：.　　师：设、为任意向量，、为任意实数，则有：　　（1）；　（2）；　（3）.通常将（2）称为结合律，（1）（3）

4、称为分配律。小练习1：计算：（1）；（2）；（3）.　　3）向量平行的充要条件：　　请同学们观察，，回答、有何关系？　　生：.　引导：若、是平行向量，能否得出？为什么？可得出吗？为什么？　　生：.　　师：由此可得向量平行的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得.　　对此定理的证明，是两层来说明的：-5-www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家　　其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知与平行，即与平行.　　其二，若与

5、平行，且不妨令，设（这是实数概念）．接下来看、方向如何：①、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使.小练习2：如图：已知，，试判断与是否平行．　解：∵　∴与平行.4）单位向量：单位向量：模为1的向量.向量（）的单位向量：与同方向的单位向量，记作.思考：如何用来表示？2．例题与练习：题1：如图，在中，是的中点，是延长线上的点，且，是根据下列要求表示向量：（1）用、表示；（2）用、表示.-5-www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家题2：如图，在中

6、，已知、分别是、的中点，用向量方法证明：题3：如图，已知，，，求证：∽练习：P1451、2、3、4-5-www.ks5u.com版权所有@高考资源网高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家3．课堂小结：（1）与的积还是向量，与是共线的；（2）向量平行的充要条件的内容和证明思路，也是应用该结论解决问题的思路。该结论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题；　　（3）运算律暗示我们，化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。4．作业布置：练习部分P88-89习题3A组2、3、4、5.P89习题3

7、B组2、3.5．拓展思考题：设、是两个不共线向量，已知，，若、、三点共线，求的值。-5-www.ks5u.com版权所有@高考资源网