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1、立体几何专练★★知识点归纳总结1．证明位置关系位置关系类型解题思路证平行线面平行（1）转化为线线平行（找中位线或平行四边形）（2）转化为面面平行（3）建系用向量法面面平行（1）找两组相交直线对应平行（2）找两组相交直线对应的线面平行（3）建系用向量法垂直线线垂直（1）勾股定理（2）等腰三角形三线合一（3）菱形（正方形）对角线垂直（4）线面垂直（5）建系用向量法线面垂直（1）线线垂直（2）面面垂直+线线垂直（3）建系用向量法面面垂直（1）线面垂直（2）建系用向量法2．求解角和距离类型取值范围解题思
2、路异面直线夹角作平移，找角，解三角形线面角找直线在平面的投影，直线与投影的夹角即为线面角点到平面距离无（1）直接做平面的垂线求长度（2）转换顶点等体积间接求长度3.利用空间向量求解角和距离类型取值范围求解公式异面直线夹角（分别为异面直线的方向向量）线面角（分别为直线的方向向量与平面的法向量）二面角（分别为两个半平面的法向量）注意：二面角要根据实际情况取余弦值的正负点到平面的距离无（为平面的法向量）★★例题精讲【例1】（2013山东）如图，四棱锥中，，，∥，，分别为的中点。（1）求证：∥平面；（2
3、）求证：平面⊥平面.【例2】（2013湖南）如图5，在直棱柱中，∥，，，,（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值。【例3】（2013陕西）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，。（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的大小.【例4】（2013新课标）如图，直三棱柱中，分别的中点，.（1）证明：∥平面；（2）（文）设,,求三棱锥的体积（3）（理）求二面角的正弦值.【例5】（2013浙江）如图，在四棱锥中，面，,,,，为线段上的点。（1）证明：面；（2）若是的中点，求与所成的角的
4、正切值；（3）若满足面，求的值。【例6】（2013江西卷）如图，直四棱锥中，∥,,，，,为上一点，.（1）证明：平面（2）求点到平面的距离.【例7】已知在四棱锥中，底面是矩形，且,分别是线段的中点.(1)证明：(2)判断并说明上是否存在点,使得.(3)若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【例8】如图，在三棱锥中，的中点，,垂足落在线段上，已知.(1)证明：(2)在线段上是否存在点,使得二面角为二面角？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.★★课后练习题★★1如图所示，在三棱锥中，平面，,分别
5、是的中点，，与交于点，与交于点，连接.（1）证明：∥；（2）求二面角的余弦值.2.（2013新课标1）如图，三棱柱中，,,（1）证明：；（2）若平面平面,，求直线与平面所成角的正弦值3.（2013大纲卷理）如图，四棱锥中，,,和都是等边三角形。（1）证明：；（2）求二面角的大小。4.（2013辽宁卷理）如图，是圆的直径，圆所在的平面，是圆上的点。（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值。5.四面体中,分别是，的中点,，ACDOBE（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅲ）
6、求点到平面的距离6.在直三棱柱中，，，分别是和的中点；（Ⅰ）求二面角的大小；（Ⅱ）证明：在上存在一个点，使得平面⊥平面，并求出的长度｡7.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为边的中点，与SAPABACADAA平面所成的角为，且，；（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小余弦值8.如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，底面，，为的中点，为的中点；（Ⅰ）证明：直线平面；（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离。9.如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，为侧棱上的点；（
7、Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若⊥平面，求二面角的大小；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱上是否存在点，使得∥平面；若存在，求的值，若不存在，试说明理由｡10．如图，在底面为直角梯形的四棱锥中∥，，平面，，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设点在棱上，，若∥平面，求的值.11.已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知。（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求到平面的距离；（Ⅲ）求二面角的正弦值。12.已知四棱锥的底面为菱形，且，，为的中点；（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求点到面的距离．13．如图，已知直四棱柱，底面为菱形，，为线段的中点，
8、为线段的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）当的比值为多少时，平面，并说明理由．
