切线长定理和三角形的内切圆

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1、24.2.2直线与圆的位置关系(3)●O●O相交●O相切相离复习1：直线与圆的位置关系rrr┐dd┐d┐直线和圆相交dr;复习2：1、切线的判定定理是什么？2、切线的性质定理是什么3、角平分线的性质是什么？4、什么叫三角形的外接圆和外心？外心是三角形什么的交点？我们知道，过圆上一点可以作圆的一条切线，那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？探究：··oo′p1.连结OP2.以OP为直径作⊙O′，与⊙O交于A、B两点。AB即直线PA、PB为⊙O的切线如图，已知⊙O外一点P，你能用尺规过点P作⊙O的切线吗？通过作图你能发现什么呢

2、？观察实验1.过圆外一点作圆的切线可以作两条2.点A和点B关于直线OP对称归纳经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。切线长是一条线段切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量。切线和切线长区别和联系OPAB·opAB如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点。如果连结OA、OB、OP，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？探究∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点∴OA⊥PA，OB⊥PB又∵OA＝OB，OP＝OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO结

3、论切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。·opAB符号语言∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO猜想如图，若连接AB，则OP与AB有什么关系？分析∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO∴OP⊥AB，且OP平分ABCD归纳从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。AD与BD相等吗？⌒⌒例1已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C.（1）写出图中所有的垂直关系

4、；（2）写出图中所有的全等三角形.（3）如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.AOCDPBE解：(1)OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB(2)△OAP≌△OBP,△OCA≌△OCB△ACP≌△BCP.(3)设OA=xcm,则PO=PD+x=2+x(cm)在Rt△OAP中，由勾股定理，得PA2+OA2=OP2即42+x2=(x+2)2解得x=3cm所以，半径OA的长为3cm.利用切线长定理进行计算·P·OABc如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，OP交⊙O于C，若PA＝6，PC＝2，求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角。解：连接O

5、A、AC，则OA⊥AP在Rt△AOP中，设OA＝x则OP＝x＋2∴OA2＋PA2＝OP2即x2＋62＝（x＋2）2解得x＝2，即OA＝OC＝2∴OP＝4在Rt△AOP中，OP＝2OA∴∠APO＝30°∵PA、PB是⊙O的切线∴∠APB＝2∠APO＝60°∴⊙O的半径为2，两切线的夹角为60°利用切线长定理进行证明·ABCDEO21例2如图，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E，交AC与点D。求证：DE∥OC证明：连接ＢＤ．∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＯＢ为⊙Ｏ的半径∴ＣＢ是⊙Ｏ的切线∵ＡD是⊙Ｏ的切线，Ｄ是切点∴ＣＤ＝

6、ＣＢ，∠１＝∠２∴ＯＣ⊥ＢＤ∵ＢＥ是⊙Ｏ的直径∴∠ＢＤＥ＝９０°，即ＤＥ⊥ＢＤ∴ＤＥ∥ＯＣ·思考如图所示是一张三角形的铁皮，如何在它上面剪下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？·ABCABCMDNI结论与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心；这个三角形叫做圆的外切三角形。明确1.一个三角形有且只有一个内切圆；2.一个圆有无数个外切三角形；3.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点；4.三角形的内心到三角形三边的距离相等。．o外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点。外接圆的半径：交点到三角

7、形任意一个顶点的距离。三角形外接圆三角形内切圆．o内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点。内切圆的半径：交点到三角形任意一边的垂直距离。AABBCC例1△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.解:设AF=x(cm),BD=y(cm),CE＝z(cm)∴AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).∵⊙O与△ABC的三边都相切∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD则有x＋y＝9y＋z＝14x＋z＝13解得x＝4y＝5z＝9例2.如图，四边形ABCD的边AB、BC、C

8、D、DA和⊙O分别相切于