2014年全国高考试卷导数部分汇编(下)

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1、2014年全国高考试卷导数部分汇编（下）1.（2014山东理6）直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．B．C．2D．4【解析】D2.（2014山东理20）设函数（为常数，是自然对数的底数）．⑴当时，求函数的单调区间；⑵若函数在内存在两个极值点，求的取值范围．【解析】⑴当时，，令，则当时，单调递减；当时，单调递增．⑵令，则当时，恒成立，上单调递增，不符合题意．当时,令，，综上：的取值范围为．3.（2014山东文20）设函数，其中为常数．⑴若，求曲线在点处的切线方程；⑵讨论函数的单调性．【解析】⑴当时又，故直线过点⑵①当时，恒大于，在定义域上

2、单调递增．②当时，．在定义域上单调递增．③当时，即；开口向下，在定义域上单调递减．当时，对称轴方程为且在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．综上所述，时，在定义域上单调递增；时，在定义域上单调递减；时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．1.（2014陕西理3）定积分的值为（）A．B．C．D．【解析】C，故选C．2.（2014陕西理10）如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为（）A．B．C．D．【解析】A根据题意，所求函数在上单调递减，对于A，∴

3、∴在内为减函数，同理可研究B、C、D均不满足此条件，故选A．1.（2014陕西理21）设函数其中是的导函数．⑴令求的表达式；⑵若恒成立，求实数的取值范围；⑶设，比较与的大小，并加以证明．【解析】由题设得，.⑴由已知，，，…，可得.下面用数学归纳法证明.①当时，，结论成立.②假设时结论成立，即.那么，当时，，即结论成立.由①②可知，结论对成立.⑵已知恒成立，即恒成立.设，即，当时，（仅当时等号成立），在上单调递增，又，在上恒成立，时，恒成立（仅当时等号成立）.当时，对有，在上单调递减，.即时，存在，使，故知不恒成立，综上可知，的取值范围是.⑶由题设知，比

4、较结果为.证明如下：证法一：上述不等式等价于，在⑵中取，可得.令，，则.下面用数学归纳法证明.①当时，，结论成立.②假设当时结论成立，即.那么，当时，，即结论成立.由①②可知，结论对，成立.证法二：上述不等式等价于，在⑵中取，可得.令，则.故有，，……，上述各式相加可得.结论得证.证法三：如图，是由曲线及辆所围成的曲边梯形的面积，而是图中所示各矩形的面积和，∴，结论得证.1.（2014陕西文10）如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）．已知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为A．B．C．D．【解析】A1.（

5、2014陕西文21）设函数．⑴当（为自然数的底数）时，求的极小值；⑵讨论函数零点的个数；⑶若对任意恒成立，求的取值范围．【解析】⑴当时，，则，∴当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．∴当时，取得极小值，∴的极小值为2．⑵由题设知，，令，得．设，则，当时，，∴在上单调递增；当时，，∴在上单调递减．∴是的唯一极值点，且是极大值点，因此也是的最大值点.∴的最大值为．又，结合的图象（如图），可知①当时，函数无零点；②当时，函数有且只有一个零点；③当时，函数有两个零点；④当时，函数有且只有一个零点;综上所述，当时，函数又且只有一个零点．当或时，函数有且只有

6、一个零点；当时，函数有两个零点.⑶对任意的，恒成立，等价于恒成立．（*）设，∴（*）等价于在上单调递减.由在上恒成立，得恒成立,∴（对，仅在时成立），∴的取值范围是．1.（2014四川理9）已知，．现有下列命题：①；②；③．其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③　　　B．②③　　　C．①③　　　D．①②【解析】A故①正确，故②正确．当时，令（）因为，所以在上单增，即，又与为奇函数，所以成立，故③正确．1.（2014四川理21）已知函数，其中，为自然对数的底数．⑴设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；⑵若，函数在区间内有零点，求的取值范围．【解析】

7、⑴因为，所以又因为，所以：①若，则，，所以函数在区间上单增，②若，则，于是当时，，当时，，所以函数在区间上单减，在区间上单增，③若，则，所以函数在区间上单减，综上：在区间上的最小值为⑵由，又若函数在区间内有零点，则函数在区间内至少有三个单调区间由⑴知当或时，函数即在区间上单调，不可能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求．若，则令（）则．由所以在区间上单增，在区间上单减，即恒成立于是，函数在区间内至少有三个单调区间又所以．综上，的取值范围为．1.（2014四川文21）已知函数，其中，为自然对数的底数．⑴设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；

8、⑵若，函数在区间内有零点，证明：．【解析】⑴由，有，所以．当时，，当时，，所以在上单调递增，因