2.4函数的奇偶性与周期性

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1、2.4函数的奇偶性与周期性姓名§2.4　函数的奇偶性与周期性2014高考会这样考　1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数；3.考查函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．复习备考要这样做　1.结合函数的图象理解函数的奇偶性、周期性；2.注意函数奇偶性和周期性的综合问题；3.利用函数的性质解决有关问题．1．奇、偶函数的概念一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称

2、．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．4．对称性若函数f(x)满

3、足f(a－x)＝f(a＋x)或f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于直线x＝a对称．一．自测1．(课本改编题)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．2．(2011·广东)设函数f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)>0的x的取值范围是________．高三3班一轮复习讲义第4页共4页2.4函数的奇偶性与周期性姓名4．(2011·大纲全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时

4、，f(x)＝2x(1－x)，则f＝________.二．典型例题题型一　判断函数的奇偶性1.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝(x＋1)；(3)f(x)＝.变式.下列函数：①f(x)＝x3－x；②f(x)＝ln(x＋)；③f(x)＝；④f(x)＝lg.其中奇函数的个数是________．题型二　函数的奇偶性与周期性2.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…

5、＋f(2013)．变式。已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.高三3班一轮复习讲义第4页共4页2.4函数的奇偶性与周期性姓名课后作业一、填空题1．(2012·天津改编)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为________．①y＝cos2x，x∈R②y＝log2

6、x

7、，x∈R且x≠0③y＝，x∈R④y＝x3＋1，x∈R2．(2011·辽宁改编)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.3．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝_______

8、_.4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________.5．函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝，若f(1)＝－5，则f(f(5))＝________.6．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝______.7．(2011·安徽改编)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝________.8．(2011·浙江)若函数f(x)＝x2－

9、x＋a

10、为偶函数，则实数a＝________.9．设奇函数f

11、(x)的定义域为R，最小正周期T＝3，若f(1)≥1，f(2)＝，则a的取值范围是____________．高三3班一轮复习讲义第4页共4页2.4函数的奇偶性与周期性姓名二、解答题10．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0)．(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．11．函数f(x)的定义域D＝{x

12、x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D.有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证