2015高三数学二轮专题复习：数形结合思想

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1、数形结合思想(前置作业)【考情分析】在高考题中，数形结合的题目主要出现在函数、导数、解析几何及不等式最值等综合性题目上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事

2、半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。【知识点】应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状

3、、位置关系、性质等．【常见方法】（1）解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。（2）三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。（3）向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。【常见的转换】（1）方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关

4、的问题。（2）利用平面向量的数量关系及模的性质来寻求代数式性质。（3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将与正方形的面积互化，将与体积互化，将与勾股定理沟通等等。（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离，点到直线的距离，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。【基础训练】1.设集合M={x

5、(x+3)(x―2)<0}，N={x

6、1≤x≤3},则M∩N=[1,2)2．若关于的方程有解,则实数的取值范围是.3.已知函数

7、，数列满足，且数列是递增数列，则实数的取值范围是．4．在中，若，则面积的最大值为．5.若，则按其从小到大排列为：c＜b＜a6.已知，A（1，3）、B（－1，6），过原点的直线l与线段AB相交，则直线l的斜率范围为．答案：数形结合思想(经典例题)题型1：集合与函数、不等式问题例1．（2011广东理5）已知平面直角坐标系上的区域D由不等式组给定.若M(x，y)为D上动点，点A的坐标为(，1)．则的最大值为4解析：如图,区域D为四边形OABC及其内部区域,例2．例2．在中，已知，，，为线段上的点，且，则

8、的最大值为．[来源:学+科+网]以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，建立平面直角坐标系，则P点坐标为（x，y），点P在线段AB上，由题型2：导数问题例3．已知函数．求函数在区间上的最小值.例4．NMPFEDCBA（第4题图）如图，是正方形空地，边长为，电源在点处，点到边，距离分别为，．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕，．线段必须过点，端点分别在边，上，设，液晶广告屏幕的面积为．（Ⅰ）用的代数式表示；（Ⅱ）求关于的函数关系式及该函数的定义域；（Ⅲ）当取何值时，液晶广告屏幕的面积最小？

9、解：（1）．（2）．∵，∴．∴．定义域为．（3）=，令，得（舍），.当时，关于为减函数；当时，关于为增函数；∴当时，取得最小值．答：当AN长为m时，液晶广告屏幕的面积最小．题型3：平面几何问题例5．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0.(1)求证：直线l过定点；(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y正半轴于点B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程．(1)证明：由已知得k(x＋2)＋(1－y)＝0，∴无论k取何值，直线过定点(－2，1)．(2)解：令y＝0得A点坐标为，令x＝0得

10、B点坐标为(0，2k＋1)(k>0)，∴S△AOB＝

11、2k＋1

12、＝(2k＋1)＝≥(4＋4)＝4.当且仅当4k＝，即k＝时取等号．即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x－y＋1＋1＝0，即x－2y＋4＝0.。例6．已知A=｛(x,y)

13、

14、x

15、≤1,

16、y

17、≤1｝,B=｛(x,y)

18、(x–)2+(y–)2≤1，∈R｝,若A∩B≠，则的取值范围是　　　　。解析：如图，集合A所表示的点为正方形PQRS的内部及其边界，集合B所表示的点为以C(,)为圆心，以1为半径的圆的内部及其边