江西省上饶中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题(奥赛)

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1、上饶中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷(理零、奥赛班)考试时间:120分钟分值:150分一、单选题1.设,若复数(是虚数单位)的实部为,则a的值为()A.B.C.1D.-12.设向量,,若,则角()A.B.C.D.3.“”是“直线(m+1)x+3my+2=0与直线(m-2)x+(m+1)y-1=0相互垂直”的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.圆的圆心极坐标是()A.B.C.D.5.若,其中,则()A.B.C.D.6.命题“,使得”的否定是()A

2、.B.C.D.7.焦点为(0,6),且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是()A.B.C.D.8.在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.若一个鳖臑的主视图、侧视图、俯视图均为直角边长为2的等腰直角三角形(如图所示),则该鳖臑的表面积为()A.8B.C.D.4十9.若曲线与曲线存在公切线,则的()A.最大值为B.最小值为C.最小值为D.最大值为10.如图正方体的棱长为1,线段上有两个动点且,则下列结论错误的是()A.与所成角为B.三棱锥的体积为定值C.D.二面角是定值.11.过抛物线的焦点作

3、倾斜角为的直线,与抛物线及其准线从上到下依次交于点,令,,则当时,的值为()A.4B.5C.6D.712.已知函数(为自然对数的底数)有两个极值点,则实数的取值范围是()A.B.C.D.二、填空题13.已知复数,其中为虚数单位,那么=.14.已知命题:在平面直角坐标系中,的顶点和,顶点B在椭圆上,椭圆的离心率是e,则,类比上述命题有:在平面直角坐标系中,的顶点和,顶点B在双曲线上,双曲线的离心率是e,则.15.已知四面体四个顶点都在球的球面上,若,,且,,则球的表面积为______.16.已知直线l:4x-3y

4、+8=0,若p是抛物线y2=4x上的动点,则点p到直线l和它到y轴的距离之和的最小值为_______.三、解答题17.(本题10分)已知直线在直角坐标系中的参数方程为为参数,为倾斜角),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,在极坐标系中,曲线的方程为.(1)写出曲线的直角坐标方程;(2)点,若直线与曲线交于两点,求使为定值的值.18.已知命题:方程表示椭圆,命.(1)若命题为真,求实数的取值范围;(2)若为真,为真,求实数的取值范围.19.已知圆,直线,.(1)求证:对,直线与圆总有两个不同的交点;

5、(2)求弦的中点的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线.20.如图,在平面四边形中,等边三角形,,以为折痕将折起,使得(1)设为的中点,求证:(2)若与平面所成角的正切值为,求二面角的余弦值.21.如图,椭圆,点在短轴上,且.(1)求椭圆的方程及离心率;(2)设为坐标原点,过点的动直线与椭圆交于两点,是否存在常数,使得为定值?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.22.设函数.若曲线在点处的切线方程为(为自然对数的底数).(1)求函数的单调区间;(2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.参考答案1.C2.B

6、3.B4.D5.B6.C7.B8.C9.D10.A11.B12.A13.114.15.16..17.(1)∵ρ﹣ρcos2θ﹣4cosθ=0,∴ρ2﹣ρ2cos2θ﹣4ρcosθ=0,∴x2+y2﹣x2﹣4x=0,即y2=4x.……………………4分(2)把为(为参数,θ为倾斜角)代入y2=4x得:sin2θ•t2﹣4cosθ•t﹣4a=0,…………6分∴…………8分∴当a=2时,为定值.……………………10分18.(1)命题为真,当时,,;…………2分当时,不等式恒成立.…………4分综上知,.…………6分(2)

7、若为真,则且………………8分若为真,为真,为假,为真.……………………10分.……………………………………12分19.证明:(1)圆的圆心为,半径为,所以圆心到直线的距离.所以直线与圆相交,即直线与圆总有两个不同的交点;………………5分(2)设中点为,因为直线恒过定点,…………6分当直线的斜率存在时,,又,∵,∴化简得.………………9分当直线的斜率不存在时,,此时中点为,也满足上述方程.……………………10分所以的轨迹方程是,………………11分它是一个以为圆心,以为半径的圆.………………12分20.证明:(1)

8、因为平面平面,平面平面,平面,所以平面.………………2分又平面,所以.在等边中,因为为的中点,所以.……4分因为,,,所以平面.…………………………5分(2)解:由(1)知平面,所以即为与平面所成角,于是在直角中,.以为坐标原点,分别以,所在的方向作为轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.设等边的边长为,则,,,,,,,,.设平面的一个法向量为,则,即,令,则,,于是.…………

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