数学分析教案(首页)

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1、九江学院理学院《数学分析》教案《数学分析Ⅰ》教案（首页）适用班级：课时90分钟课题§1　函数极限的概念编号14教学目的要求：掌握；；；；函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限．重点•难点：重点：函数极限的分析定义难点：分析定义证明实施步骤方法教学内容提要时间一、组织上课二、导入新课讲授“讲授法”“举例法”“提问法”“比较法”三、课后总结四、课后任务1、数列极限回忆2、时函数的极限定义及几点注记3、利用＝Ａ的定义验证极限等式举例4、时函数的极限的定义及几点说明5、例46、单侧极限第9页共9页九江学院理学院《数学

2、分析》教案板书设计极限通俗定义一、时函数的极限(一)引言(二)时函数极限的定义(三)几点注记(四)利用＝Ａ的定义验证极限等式举例例1　证明　例2　证明　　1）；2）二、时函数的极限(一)引言(二)时函数极限的定义(三)函数极限的定义的几点说明例4证明：1）；2）三、单侧极限单侧极限的定义函数极限与的关系课外作业P39：1(1)(5)、2、6(3)（课堂教学效果记录在首页背面）后附讲稿（或讲授提纲）共6页第9页共9页九江学院理学院《数学分析》教案第三章函数极限在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限

3、”，第二部分是“函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例，。通过数列极限的学习.应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如，数列这种变量即是研究当时，的变化趋势.我们知道，从函数角度看，数列可视为一种特殊的函数，其定义域为，值域是，即;或　或.研究数列的极限，即是研究当自变量时，函数变化趋势.此处函数的自变量n只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即.但是，如果代之正整数变量n而考虑一般的变量为，

4、那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x可能的变化趋势是否了仅限于一种呢？类似于数列，可考虑自变量时，的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势,.由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化.但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同.而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限.下面，我们就依次讨论这些极限.§1　函数极限的概念一、时函数的极限(一)引言设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量

5、时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ.这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质.第9页共9页九江学院理学院《数学分析》教案　例如　无限增大时，无限地接近于0；无限增大时，无限地接近于；无限增大时，与任何数都不能无限地接近.正因为如此，所以才有必要考虑时，的变化趋势.我们把象，这样当时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当时有极限Ａ”.问题如何给出它的精确定义呢?类似于数列,当时函数极限的精确定义如下.(二)时函数极限的定义定义1　设为定义在上的函数，Ａ为实数.若对任给的，存在正数Ｍ，使

6、得当时有,则称函数当时以Ａ为极限.记作或.(三)几点注记1、定义1中作用与数列极限中作用相同，衡量与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中Ｎ相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数，而不仅仅是正整数n.2、的邻域描述：当时，3、的几何意义：对，就有和两条直线，形成以Ａ为中心线，以为宽的带形区域.“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域内.如果给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线在的右边的全部落在这个更窄的带形区域内.4、现记为定义

7、在或上的函数，当或时，若函数值能无限地接近于常数Ａ，则称当或时时以Ａ为极限，分别记作，　　　　　或，第9页共9页九江学院理学院《数学分析》教案　　　　　或.这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，简写如下：当时，，当时，.5、推论设为定义在上的函数，则.(四)利用＝Ａ的定义验证极限等式举例例1　证明　.证任给，取，则当时有所以。例2　证明　　1）；2）.证任给，由于（1）等价于，而此不等式的左半部分对任何都成立，所以只要考察其右半部分的变化范围。为此，先限制，则有故对任给的正数，只须取，则当时便有（1）式成立。这就证明了1）。

8、类似地可证2）。注从而当时不存在极限。二、时函数的极限第9页共9页九江学院理学院《数学分析》教案(一)引言先看下面几个例子：例1　.（是定义在上的函数，当时，）.例2　.（是定义在上的函数，当时，）.例3　.（是定义在上的函数，当时，）.由上述例子可见，对有些函数，当时，对应的函数值能趋于