无穷小(大)与极限运算(无穷小的比较)及两个重要极限

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1、第4、5讲无穷小（大）与极限运算（无穷小的比较）及两个重要极限一、计划学时：2节二、内容三、要求四、重点五、难点六、教学过程：（一）无穷小与无穷大一、无穷小量定义1在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量，简称为无穷小。无穷小量只是极限的一个特殊情况（=0），因而可由极限的不等式定义得到无穷小的精确定义，共有七种，先以x→x0为例给出无穷小的精确定义：定义2设函数f(x)当

2、x

3、充分大时有定义。若"M>0，$X>0，'

4、x

5、>XÞïf(x)ï>M，则称函数f(x)当x→∞时为无穷大量，记为或.注由无穷大定义知，无穷大不是数，再

6、大的数也不是无穷大。且若函数是无穷大，则函数必无极限。但为描述函数的这种变化趋势的性态，也称函数的极限是无穷大。如：x→0时，是无穷大；x→-1时，也是无穷大；x→∞时，1-lnx是无穷大。显然这些无穷大的变化趋势不相同，随着x→∞，的值非负且越来越大，而1-lnx则取负值且绝对值越来越大，在数学上加以区别就是正无穷大+∞与负无穷大-∞。将定义2中的“

7、x

8、>X”相应地改为“x-X”即可得到x→∞时正无穷大和负无穷大的定义。共有21种无穷大的定义。yy=11x例2证明.证"M>0，要使ïf(x)ï=││>M，只要

9、x-1

10、<，取d=，

11、则当时，Þ││>M，∴.注证明无穷大的思想方法完全同于极限证明部分。从图形(图10—13)上看直线x=1是曲线y=的垂直渐近线。图10—13一般地，如果x→x0时f(x)为无穷大，即若，则直线x=x0就是函数y=f(x)的图形的一条垂直渐近线，这就是x→x0时无穷大的几何解释。无穷大与无穷小的关系：定理2在自变量同一变化过程中，若f(x)为无穷大，则为无穷小；反之，若f(x)为非零无穷小，则为无穷大。简言之：无穷小与无穷大是互为倒数的，但分母不得为0。证仅就过程x→x0给出证明。设，则"ε>0，∵，∴对于正数M=1/ε，$d>0，'0<

12、x-x0∣

13、

14、f(x)

15、>M=1/ε，Þêï<ε，∴.反之，设，且f(x)≠0."M>0，∵，对于ε=，$d>0，使得当时，恒有│f(x)│<ε=，Þêï>M，∴.无穷大与无界的关系：由无穷大的定义知，若函数是某过程时的无穷大，则它必是此变化范围上的无界函数。反之呢？例3（P27题6）函数f(x)=xcosx是（-∞，+∞）上的无界函数(图1-14)："正整数M，都有xM=2Mp，使得f(xM)=2Mpcos2Mp=2Mπ>M，∴f(x)是无界函数。直观上看，对于再高的直线y=M；直线的上方都有函数的图像。但x→∞时它不是无穷大：对于正整数M，"X>

16、0，$xX=>X，使得f(xM)=cos=0

17、（法则）由于高等数学的主要研究对象是初等函数，因此我们应该会求初等函数的极限，显然用定义求函数的极限是不现实的，我们应该通过对极限性质的进一步讨论来寻找一些更有效的求极限方法。极限的性质可分为两大类：基本性质和运算性质。函数极限一节已对极限的基本性质进行了研究。再由初等函数的构成知，我们还应对函数的四则运算和复合运算性质进行研究。下面的定理对七种极限过程均成立，我们仅以过程x→x0为例给出证明。定理1(四则运算法则)如果函数、在自变量的同一变化趋势下有极限，则⑴存在，且=±；想一想为什么不限定g(x)¹0⑵存在，且=；⑶存在，且（分母不为0）.证三

18、个公式证明的思想方法是一致的，仅给出(1)的证明：设,.则f(x)=A+a，g(x)=B+b，其中a、b为x→x0时的无穷小。则有f(x)+g(x)=(A+B)+(a+b)Þ=.▌注可将定理5推广到任何有限多个函数的情形，但对无限的情形定理未必成立。使用定理是一定注意满足条件：函数的极限存在。(2)的特别情形：；；lim[f(x)-A]=BÞlimf(x)=lim{[f(x)-A]+A}=B+A，特别地，lim[f(x)-A]=0Þlimf(x)=A.例1求极限.解原式=··=.一般地有，.例2(P28例1)求极限.原式=.一般地，若n次多项式f(

19、x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则.▌注求过程x→x0时多项式f(x)的极限，只需将x=x0带入多项式f(x)