2020版高考数学一轮复习第七章立体几何第二节空间点、直线、平面之间的位置关系讲义（含解析）

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1、第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系突破点一　平面的基本性质1．公理1～3文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内⇒l⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l[点拨]　公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．2．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线

2、外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(　　)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　)(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A.(　　)(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×二、填空题1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有________

3、．答案：42．下列命题中，真命题是________．(1)空间不同三点确定一个平面；(2)空间两两相交的三条直线确定一个平面；(3)两组对边相等的四边形是平行四边形；(4)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内．解析：(1)是假命题，当三点共线时，过三点有无数个平面；(2)是假命题，当三条直线共点时，不能确定一个平面；(3)是假命题，两组对边相等的四边形可能是空间四边形；(4)是真命题．答案：(4)3．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列三个命题，其中真命题是________．(填序号)①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥

4、b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α.答案：③1．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，N为线段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN交AA1于点Q，则线段AQ的长为(　　)A.　　　　　　　　　　B.C.D.解析：选D　如图所示，过点A作AE∥BM交DD1于点E，则E是DD1的中点，过点N作NT∥AE交A1A于点T，此时NT∥BM，所以B，M，N，T四点共面，所以点Q与点T重合，易知AQ＝NE＝，故选D.2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．

5、证明：(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，∵E，F分别是AB和AA1的中点，∴EF∥A1B且EF＝A1B.又∵A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴EF与CD1确定一个平面，即E，C，D1，F四点共面．(2)由(1)知EF∥CD1且EF＝CD1，∴四边形CD1FE是梯形，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE，且P∈D1F，又CE⊂平面ABCD，且D1F⊂平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．共面、共线、共点问题的

6、证明方法(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　)解析：选D　A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．2.如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，

7、O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：选A　连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．突破点二　空间中两直