最优化与最优控制讲义 第4章 线性二次型最优控制

《最优化与最优控制讲义 第4章 线性二次型最优控制》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、四．线性二次型最优控制线性二次型最优控制问题，一般也称做LQ或LQR（LinearQuadraticRegulator）问题，在最优控制理论与方法体系中具有非常重要的地位。线性二次型最优控制问题的重要性在于其具有如下特点：（1）对于用线性微分方程或线性差分方程描述的动态系统，最优控制指标具有非常明确、实际的物理意义；（2）在系统设计技术上做到规范化，具有统一的解析解形式；（3）构成反馈控制形式，可以得到线性反馈控制的最优解；（4）在工程实现上使实时控制计算工作大为简化。因此，LQR方法是应用最为广泛的一种

2、最优控制算法，本章将进行详细介绍。4.1线性二次型最优控制问题的提法（1）问题提法给定线性时变系统的状态方程和输出方程x&(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)(4-1-1）y(t)=C(t)x(t)(4-1-2）nml其中，x(t)∈R,u(t)∈R,y(t)∈R，A(t)、B(t)、C(t)分别是n╳n、n╳m和l╳n维时变系统矩阵、增益矩阵和输出矩阵。假定0≤l≤m≤n，且控制变量u(t)不受限制。用yr(t)表示期望输出向量，ly(t)∈R，有误差向量re(t)=y(t)−y(t)(4-1-3

3、）r二次型最优控制要解决的问题是，选择最优控制u*(t)，使二次型性能指标1T1tfTTJ(u)=e(tf)Fe(tf)+∫[e(t)Q(t)e(t)+u(t)R(t)u(t)]dt(4-1-4）22t0最小。这就是LQR问题。式(4-1-4）中，F为l╳l维非负定（半正定）常数矩阵，Q(t)为l╳l维非负定（半正定）时变矩阵，R(t)为m╳m维正定时变矩阵。其中，矩阵正定与非负定（半正定）的定义由如下描述给出：ò正定矩阵：如果对n╳n维方阵A，任意n╳1维列向量x，均有二次型TxAx>0，则A为正定矩阵

4、；ò非负定（半正定）矩阵：如果对n╳n维方阵A，任意n╳1维列向量x，T均有二次型xAx≥0，则A为非负定（半正定）矩阵。41（2）性能指标的物理意义考虑将(4-1-4）式表示为1T1tfJ(u)=e(tf)Fe(tf)+∫t[Le+Lu]dt(4-1-5）220T其中积分号中被积第一项Le=e(t)Q(t)e(t)为衡量系统控制误差大小的代价函1tf2数，当系统为单输出，即e(t)为数量函数时，∫e(t)dt即为经典控制中的动态2t0T误差平方积分；被积第二项L=u(t)R(t)u(t)为衡量控制功率（

5、积分后即为能量）u2大小的代价函数，因为若u(t)表示电流或电压时，则u(t)正比于电功率。而性T能指标中最前面一项e(tf)Fe(tf)则是要使末值时刻误差最小。综上所述，二次型性能指标的物理意义可以表述为：用尽可能小的控制能量，来保持尽量小的输出误差，以达到控制能量和输出误差综合最优的目的。（3）系数矩阵F、Q、R的选取系数矩阵F、Q、R的选取对二次型性能指标的取值、特别是对各个误差分量和控制分量的影响至关重要，一般遵循下列原则：ò一般取为对角线矩阵，其对角线元素的大小由各个分量的重要性决定。对重要性

6、高的分量，其对应系数矩阵对角线元素的取值相对较大；反之，则取较小值。ò若要减少各分量间的关联耦合作用，系数矩阵可不为对角线矩阵，只需将在系数矩阵中对应关联分量位置的元素取为非零的正数，其大小也依对消除各分量间关联的重视程度而定，即最优性能指标也可以用于解耦控制设计。ò当Q、R取为时变矩阵Q(t)和R(t)时，可以反映不同时间阶段的系统控制要求。如当t=t0时e(t)可能很大，但此时并不反映系统的控制性能，可以将Q(t)取得较小；当t→tf、e(t)减小时，为保证控制系统性能，可以将Q(t)逐渐取大。二次型

7、性能指标中系数矩阵F、Q、R的选取在最优控制理论中是受人为因素影响最大的步骤，对同样的二次型最优控制问题，选取不同的F、Q、R所得到的最优控制规律也是完全不一样的。（4）线性二次型最优控制问题的三种类型依照系统(4-1-1）~(4-1-3）的情况不同，线性二次型最优控制问题可以分为如下三类：I.状态调节器问题此时有C(t)=I为单位矩阵，yr(t)=0，即有y(t)=x(t)=-e(t)II.输出调节器问题此时有yr(t)=0，即有y(t)=-e(t)。III.跟踪问题此时yr(t)≠0，e(t)=yr(

8、t)−y(t)。这三种类型中，状态调节器问题是最基本的线性二次型最优控制问题，输出调节器和跟踪问题均可视为状态调节器问题的扩展。以下各节将依次对这三42种类型加以介绍。4.2状态调节器问题—黎卡提（Riccati）方程（1）问题描述设线性时变系统的状态方程为x&(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)(4-2-1）nm其中，x(t)∈R,u(t)∈R，A(t)和B(t)分别是n╳n和n╳m维时变系统矩阵和增益矩阵，x(t0)