门爱东数字信号处理课后题答案

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1、数字信号处理习题解答2005第一章习题1.1给定f(t)=rect(t+2)+rect(t-2),画出下列函数的图形。(1)f(t)(2)g(t)=f(t-1)(3)h(t)=f(t)u(t)(4)f(t/2)解：（1）f(t)f(t)1-3-2-10123t（2）g(t)=f(t-1)g(t)1-2-10123t（3）h(t)=f(t)u(t)1数字信号处理习题解答2005h(t)10123t（4）(t)f2f()t21-5-4-3-2-1012345t1.2设f(t)是某一函数，a,t0,T为实常

2、数，证明：t-t0(1)f(t)dd()=-aft(tt00)()a1tt00(2)f(t)dd(at-t0)=-ft()()aaat-t¥0(3)f(t)comb()=Tåf(tt00=nT)d()t--nTTn=-¥解：（1）t-t0f(t)d()=f(t)ad(t-t)=af(t)d(t-t)=af(t)d(t-t)a00002数字信号处理习题解答2005(2)f(t)dd(at-t)=-f(tt)1(t0)0aa=-1f()ttd()t0aa=-1ft()tt00d()aaa（3）¥¥f()t

3、comb()t-t0=f()tåådd()t-t00-=nft()()t--tnTTTTnn=-¥=-¥¥=Tf(t)åd()t--t0nTn=-¥¥¥=Tååf(t)dd()t-t0-nT=Tf(t00+nT)()t--tnTnn=-¥=-¥1.3(1)如f(t)F(Ω)，证明：-jWt¥-j(W-y)t-jWtF(W)*e=òF(y)edy=2pf(t)e-¥(2)用（a）的结果，证明频域卷积定理1f(t)f(t)«FF(W)*W()12122p证明：（1）¥¥-jWt-j()W-yt-Wjtjy

4、tF(W)*e==òòF()yedyF()yeedy-¥-¥¥-jWtjyt-Wjt==eòF(y)edy2pf()te-¥（2）+¥+¥Féùf(t)f(t)=f(t)f()te-jWtdt=×12pf(t)e-Wjtf()tdtëû12òò-¥122p-¥12+¥=1F(W)*×e-Wjtf()tdt2pò12-¥+¥+¥1-j()W-yt=2pòò()F1()y××edyf2()tdt-¥-¥+¥+¥1-j()W-yt=×2pòòF12()yef()tdydt-¥-¥+¥+¥=1f()te-j(

5、)W-ytdtFydy2pòò-¥()-¥21()+¥=1F(W-×y)F()ydy2pò21-¥=1F(W)*WF()2p123数字信号处理习题解答2005所以f(t)f(t)«1FF(W)*W()1222p11.4求下图中f(t)脉冲的傅氏变换。T/4T解：T令t=，脉冲幅度为1，截取f(t)的一个周期f0(t)。2则f0(t)的傅立叶变换为：()[()]T(wt)T(wT)Fw=Fft=×Sa=×Sa002224得F=11F(ww)==Sa(nTw1),2pnnTT01ww=124所以¥Féùë

6、ûf(t)=F(w)=-2påFnnd()ww1n=-¥¥nTw1=-påSan()4d()ww1n=-¥注：如果用sinc函数表示，结果：¥()å(nw1T)()Fw=psincdw-nw4p1n=-¥1.5证明(1)H(W)*d(W)=Ha()W-¥¥(2)H(W)*ååd(W+nW00)=Hn()W+Wnn=-¥=-¥证明：(1)¥¥左边=òòH(a)×d(W-a)da=H(W)d(W-a)dHaa=()W--¥-¥(2)4数字信号处理习题解答2005¥¥¥H(W)*ååd()W+nW00=òH

7、(t)×d()W-tt+Wnd-¥nn=-¥=-¥¥¥=åòH(t)d()W-tt+Wnd0-¥n=-¥¥=åHn()W+W0n=-¥¥-at1.6设ft()=e，证明脉冲序列åf(nT)d()t-nT的傅氏变换等于n=-¥-2aT1-e--aT2aT1-2ecosW+Te证明：¥设g(t)=åf(nT)d()t-nTn=-¥则：¥¥éù-WjnTFéùëûg(t)=Fêúååf(nT)d(t-=nT)f()nTeëûnn=-¥=-¥¥0+¥-anT-jnTWanT-jnTW-anT-WjnT=åee

8、=+ååeeeen=-¥nn=-¥=1+¥+¥-anTjnTW-anT-WjnT=+ååeeeenn==01+¥+¥-nT(a-jW)-nT()aj+W=+ååeenn==01-T()aj+W1e=+-T()a-jW-T()aj+W11--ee-2aT1-e=--aT2aT1-2ecosW+Te1.7(1)证明¥¥12-WjnTpååe=d(W+nW00),W=W0nn=-¥=-¥T(2)若f(t)F(Ω)，证明¥¥-WjnTTååf(nT)e=Fn()