外校招生模拟测试(9)

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1、外校招生模拟测试（9）一、填一填：（每题3分，共24分）1、房间里有12个人，其中有些人总说假话，其余的人说真话．其中一个人说：“这里没有一个老实人．”第二个人说：“这里至多有一个老实人．”第三个人说：“这里至多有两个老实人．”如此往下，至第十二个人说：“这里至多有11个老实人．”问房间里究竟有多少个老实人?【分析与解】方法一：假设这房间里没有老实人，那么第1个人的话正确，说正确话的人应该是老实人，矛盾；假设这房间里只有1个老实人，那么第2～12个人的话都正确，那么应该有11个老实人，矛盾；假设这房间里只有2个老实人

2、，那么第3～12个人的话都正确，那么应该有lO个老实人，矛盾；假设这房间里只有3个老实人，那么第4～12个人的话都正确，那么应该有9个老实人，矛盾；假设这房间里只有4个老实人，那么第5～12个人的话都正确，那么应该有8个老实人，矛盾；假设这房间里只有5个老实人，那么第6～12个人的话都正确，那么应该有7个老实人，矛盾；假设这房间里只有6个老实人，那么第7～12个人的话都正确，那么应该有6个老实人，满足；…………以下假设有7～12个老实人，均矛盾，所以这个房间里只有6个老实人．方法二：如果一共有n个老实人，则说“至多0

3、个老实人”、“至多1个老实人”……“至多n一1老实人”的都是骗子；说“至多n个老实人”、“至多n+1个老实人”……“至多11个老实人”的都是老实人，共有n个老实人、n骗子，而一共12个人，所以n=6．综上所述，一共6个老实人．2、一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米?【分析与解】我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小．如3个数的积为18，则三个数为2、3、3时和最小，为8．1998=2×3×3×3×37，37是质数，不能

4、再分解，所以2×3×3×3对应的两个数应越接近越好．有2×3×3×3=6×9时，即1998=6×9×37时，这三个自然数最接近．它们的和为6+9+37=52(厘米)．3、有甲、乙两个同样的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛满含50%酒精的液体，先将乙杯中液体的一半倒入甲杯，搅匀，再将甲杯中液体的一半倒入乙杯。问这时乙杯中的洒精是溶液的几分之几？分析：对这类关于浓度计算的问题，只要能搞清楚溶质（这里是酒精）含量和溶液总量的变化，便很容易解决。解：列出每一次变化时两杯中溶液总量和酒精含量的数值：甲杯乙杯总量（杯）含酒精总量

5、（杯）含酒精（杯）开始时01第一次1×=第二次=1+=最后，乙杯酒精量是溶液总量的÷1=。答：乙杯的酒精是溶液的。4、如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=45°,∠ABC=105°，AB=CD=15厘米，连接对角线BD。求四边形ABCD的面积。分析和解：考察图形结构可以看出：题目中的已知条件都很分散，为了使分散的条件相对集中，在不改变求解目标的前提下对图形结构作适当调整，看能否“优化”图形结构，使松散的条件变得紧凑。注意到∠A=∠B=45°,AB=CD=15㎝,把△DBC切下来，让∠C与∠A相邻，这样可以构成直角，考

6、虑到DC=AB，我们让DC处于AB关于AD的对称位置AE处放置，这样CB就与AD重合，处于AF的位置，DB处于EF的位置（如图（1）所示）。通过上面的交换，点E与点B关于AD对称，所以连接EB，此时构成了等腰直角△ABE，且关于线段AF对称，如图（2）所示。所以：∠AOE=∠AOB=∠EOF=90°，EO=OB根据上面△AEF的构造得：EF=DB所以：△EOF绕点O旋转180°后与△BOD重合！换一句话讲：原来△EOF这块面积真补到了△ODB的位置上了。这样，原来四边形ABCD经过上述交换，在保持面积不变的前提下变形

7、成为直角△ABE。即：S四边形ABCD=S直角△ABE=15×15×=112.5（㎝2）。5、甲、乙两个油桶各装了15千克油，售货员卖出了14千克后从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶，使得乙桶油增加1倍；然后从乙桶倒一部分油分给甲桶，使甲桶油也增加1倍；这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍，问售货员从两个桶里各卖出了多少公斤油？解：卖前共有油30千克，卖出14千克后还有16千克，最后甲桶油是乙桶油的3倍，因此甲桶有油16×=12（千克），乙桶有油16-12=4（千克）。下面列表依题意倒推回去：甲桶乙桶乙桶倒给甲桶后124甲桶倒

8、给乙桶后610甲桶倒给乙桶前115所以甲桶卖出15-11=4（千克），乙桶卖出15-5=10（千克）6、一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪抢险，如果将车速比原来提高。就可以比预定时间提前20分钟赶到；如果先按原速度行驶72千米，再将车速比原来提高，就可比预定时间提前30分钟赶到。这支解放军部队的行程是多少千米？分析：根据“路程一定，速度和时间