高二数学辗转相除法

《高二数学辗转相除法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、辗转相除法与更相减损术算法案例高二.五班1.回顾算法的三种表示方法：（三种逻辑结构）（1）、自然语言（2）、程序框图（3）、程序语言（五种基本语句）复习引入:2.思考：小学学过的求两个数的最大公约数的方法？先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.例：求下面两个正整数的最大公约数：求22和6的最大公约数2221163所以，22和6的最大公约数为2思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？例：如何算出8251和6105的最大公约数？22＝6×3＋4；6＝4×1＋2；4＝2×2＋06cm22cm？

2、试用数学的方法，求得此正方形的边长？新课讲解：一、辗转相除法（欧几里得算法）1、定义：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。欧几里德辗转相除法,又名欧几里德算法(Euclideanalgorithm)乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法,其可追溯至3000年前。辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0才停止的步骤，这实际上是一个循环结构。8251=6105×1+21466

3、105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0m=n×q＋r用程序框图表示出右边的过程r=mMODnm=nn=rr=0?是思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？否思考：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？(1)、算法步骤：第一步：输入两个正整数m,n(m>n).第二步：计算m除以n所得的余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m；否则转到第二步.第五步：输出最大公约数m.(2)、程序框图：开始输入m,nr

4、=mMODnm=nr=0?是否n=r输出m结束(3)、程序：INPUT“m,n=“;m,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND二、更相减损术可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。（1）、《九章算术》中的更相减损术：1、背景

5、介绍：（2）、现代数学中的更相减损术：2、定义：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。例:用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝2121－7＝2114－7＝7所以，98和63的最大公约数等于73、方法：1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数．练习

6、：思路分析：先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4。2、求324、243、135这三个数的最大公约数。思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。(1)、算法步骤第一步：输入两个正整数a,b(a>b);第二步：若a不等于b,则执行第三步；否则转到第五步；第三步：把a-b的差赋予r;第四步：如果b>r,那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二步；第五步：输出最大公约数b.***思考：你能根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数

7、吗？(2)、程序框图开始输入a,ba≠b?是否输出b结束b=ra=br=a-brbr=a-bIFb>rTHENa=bb=rELSEa=rENDIFWENDPRINTbEND比较辗转相除法与更相减损术的区别（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相

8、等而得到。小结学以致用1.求解不定方程326X+78Y=2的一组整数解学以致用2.设计一个程序，求两个正整数的最小公倍数。（提示：最小公倍数=两数之积除以最大公约数）学以致用3.甲，乙，丙三种溶液分别重147克，343克