数学专题总结：高考备考精品

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1、数学专题总结：高考备考精品一．不等式解题方法一、从与的大小说起【引例】正实数中，对任意a，b，m，都有这就是“分数的基本性质”：分数的分子和分母乘以同一个正数，其值不变.这，连小学生都知道.但，我们的话题却要从这儿开始.【问题】对以上“性质”，如果将冒号后的文字改变一个字，将“乘”改成“加”，即变成这里的等号还能成立吗？请看下例.【例1】若b>a>0，m>0，则有A.B.C.D.【解答】（淘汰法）令a=1，b=2，m=3淘汰B，C，D，答案为A.【例2】（变例1为解答题）若b>a>0，m>0，试比较和的大小.【解1】（比较

2、法作差—变形—判定符号）因为【解2】（综合法由因推果由整式推出分式）a）【说明】a放大为b，则缩小为，结果是分值缩小.将缩成，目标是“约”去m.【解

3、5】（放缩法从左到右）（<）【说明】“最后”令kb=m的合理性来自正数k的任意性.事实上，我们可以提前设置m=kb.将放成，目标是“添”上m.这里的第二步利用了连比定理.放缩法实为对比较法、分析法、综合法等基本方法所得简单结果的一种整合运用.【小结】证不等式，比较法是基础，放缩法是整合，方法网络图如下：【练习】正实数中，求证≥（Ⅰ）用比较法证明；（Ⅱ）用综合法证明；第2页共34页（Ⅲ）用分析法证明；（Ⅳ）用放缩法证明.二、比大小从方程、函数到不等式还是那个题目b>a>0，m>0，求证【法1】（等式法不等式变为方程）设得即x

4、>0，故有.【说明】这种等式法实为比较法的一种变式.即作差法的另种形式.【法2】（等式法未知数论设作因子）设则所以【说明】这种等式法为比较法的另一种形式.即作商法的另种形式.【法3】（函数法视m为x，）设有函数函数在［0，m］上是减函数，故是［0，m］上的增函数.（图右，其中a=1，b=2）f（0）0）是第3页共34页（0，+∞）上的减函数.【法4】（不等式法把证不等式化为解不等式）解不等式即x=m为正数时，原不等式真.【说明】证不等式可视为一

5、种特殊形式的解不等式.如证a2-a+1>0，即x2-x+1>0的解为R，视参数为变量.解出的参数值域符合题设的取值范围即可.【法5】（极限法把参数m作极端处理）&nbs,p;当m→0时，当m→∞时，故有【说明】对于解答题来讲，这种解法的理由不充分，因为对于函数f(m)=的单调性并没讲清楚，没有交待f(m)是上的增函数.如果是确定性的选择题例1，即与的大小关系是确定的，不需要讨论m的范围时，则这种极限法是很简便的.【小结】真分数的“放大性”：真分数的分子和分母加上同一个正数，其值变大.以这种“放大性”为基础，可推出许多重要的

6、分式不等式，如（1）

7、a+b

8、≤

9、a

10、+

11、b

12、≤≤（2）数列an=是增数列；而数bn=是减数列.【练习】1.正数中，再证≥.分别用函数法、方法程和解不等式法.2.用不同的方法证明≥.第4页共34页3.用不同的方法证明≥.三、千方百法会战高考不等式【考题1】（2006年赣卷第5题）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f¢（x）³0，则必有（）A．f（0）＋f（2）<2f（1）B.f（0）＋f（2）£2f（1）C.f（0）＋f（2）³2f（1）D.f（0）＋f（2）>2f（1）【分析】从已知条件（x-1）f¢(x)

13、≥0出发，可得如下的不等式组或.因此f(x)有两种可能：其一，f(x)为常数；其二，f(x)在区间上为减函数，在上为增函数.【解答】（综合法）依题意，当x³1时，f¢（x）³0，函数f（x）在[1，＋¥上是增函数；当x<1时，f¢（x）£0，f（x）在（－¥，1）上是减函数．所以f（0）³f（1），f（2）³f（1），所以f(0)+f(2)≥2f(1),当f(x)为常数函数时即f(x)=a(常数)，f¢（x）=0，满足不等式(x-1)f¢（x）≥0成立.此时f(0)+f(2)=2f(1)，所以f（0）＋f（2）≥2f（1）

14、.故选C.【说明】本题如用分析法，即各选项反推，显然麻烦.【考题2】（2002年苏卷第22题不等式与函数综合不等式为主）已知a>0，函数f(x)=ax-bx2.（Ⅰ）当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤；（Ⅱ）当b>1时，证明：对任意x∈［0,1］，

15、f(x)

16、≤1的充要条件是b-1≤a