等差数列一轮复习导学案

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1、等差数列及其前n项和【知识梳理】1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝.【易误点】1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个

2、常数与常数的区别．[试一试]1．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝________.解析：∵a4＋a8＝16，∴a6＝8，∴S11＝11a6＝88.2．{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.解析：因为{an}为等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，所以a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2a1＝2，所以S8＝64.【方法汇总】1．等差数列的四种判断方法(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋

3、2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列．2．活用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.3．用方程思想和化归思想在解有关等差数列的问

4、题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解．[练一练]1．已知等差数列{an}满足a3＋a7＝10，则该数列的前9项和S9＝________.解析：由题知，S9＝＝＝45.2．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＝9，则其前9项和S9的值为________．解析：由题知a3＋a5＋a7＝3a5＝9，则a5＝3，所以S9＝9a5＝27.5【考点探究】考点一等差数列的基本运算【例1】1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝________.解析：根据已知条件，得到am和am＋1，再根据等差数列的定义得到公差d，最后

5、建立关于a1和m的方程组求解．由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以等差数列的公差为d＝am＋1－am＝3－2＝1，由得解得2．在等差数列{an}中，若a1＋a2＝4，a9＋a10＝36，则S10＝________.解析：法一：由于a1＋a2＋a9＋a10＝2(a1＋a10)＝40，故a1＋a10＝20，从而S10＝＝100.法二：由题意得解得从而S10＝10a1＋＝100.[类题通法]1．等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．

6、2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．考点二等差数列的判断与证明【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＝－2SnSn－1(n≥2且n∈N*)．(1)求证：数列是等差数列．(2)求Sn和an.[解]　(1)证明：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，①∴Sn(1＋2Sn－1)＝Sn－1.由上式知若Sn－1≠0，则Sn≠0.∵S1＝a1≠0，由递推关系知Sn≠0(n∈N*)，由①式得－＝2(n≥2)．∴是等差数列，其中首项为＝＝2，公差为2.(2)∵＝＋2(n－

7、1)＝＋2(n－1)，∴Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，当n＝1时，a1＝S1＝不适合上式，∴an＝【一题多变】若将条件改为“a1＝2，Sn＝(n≥2)”，如何求解.解：(1)∵Sn＝，∴＝＝＋2.∴－＝2.∴是以为首项，以2为公差的等差数列．5(2)由(1)知＝＋(n－1)×2＝2n－，即Sn＝.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝；当n＝1时，a1＝2不适合an，故an＝[类题通法]1．解答题判断等差数列，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n项和公式法主