函数零点问题的几种常见题型

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1、第4朝高中数学教与学函数零点问题的几种常见题型沈丽群浦仕宏段学武(云南省绿春县第一中学，661100)(云南师范大学附属蒙自中学，661100)函数的零点是高中数学新增内容之一，所以由零点存在定理知，()在(1，e)有零点．也是新课程高考的一大亮点和热点．诸如方另一方面如图1可知，函数在<1的范程的根的问题、存在性问题与交点问题等都围内无零点，故选D．可以转化为零点问题进行处理，因而函数的评注涉及到区间范围的题型，往往可零点成为了近年来高考新的生长点与热点而以借助零点定理求解．但需注意零点定理只备受青睐．近几年的数学高考中频频出现零是零点存在的充分条件，如本题，不

2、能从点问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导、÷e1，>0及1)>0认为在『Lk，11J上无零数知识密不可分．下面笔者就近几年高考中零点问题归类解析如下，希望对大家有所帮点．这时可考虑用二分法继续求证，或如上述助．解法那样，通过作图观察函数图象交点所在一的大致区间范围解题．、函数零点的分布二、函数零点的个数例1设函数)=一In，则Y=1．通过图象确定零点个数，()()例2函数，()=IlgI—CO8在(0，+∞)内零点的个数是()(A)在区间『，11，(1，e)内均有零点(A)3(B)4(C)6(D)8(B)在区间『，1]，(1，e)内均无零点，110o，l1．／

3、——(c)在区间【÷，1]上有零点，在区间(1，．D1＼、／21T霄lO／一je)内无零点、—／、J／(D)在区间IL，1JI上无零点，区间(1，e)图2内有零点解当0<<1时，由图2易知，()有，1个零点；当：10时，lg：1，函数Y=y=ln／j(／：IlgI过点(10，1)，而函数Y=Ilgl在(1，一11i．．．--／6／lxo2e34+∞)上是增函数，故当1<<10时，函数Y—1=llgI<1，必然和Y=1208有3个交点．综图1上，选B．变式设定义在R上的函数，()是最小正周期为2at的偶函数()是，()的导函解NS~f(1)>0，e)=号一1<0，数

4、．若当∈[0，耵]时0<)<1；当∈·9·高中盘学教与学2015聋而对于h(x)=ln一上+旦，由()=(0，盯)且≠詈时(一号()>0，则函数Y：，()一sin在[一2竹，2霄]上的零点个In+1知h()在《0，I上单调递减，在数为()(A)2(B)4(C)5(D)8l，+∞l上单调递增，故h()≥解由条件易知∈10，"iT·)时()<(÷)=一÷一i1+詈≥o(当且仅当=__10)为减函数；∈(孚，盯I时厂()>0，时取等号1．故g()≥h()≥0，上述两个不，()为增函数．又E[0，霄]时，0<)<等式至少有一个取不到等号，从而g()>0．1，在R上的函数)

5、是最小正周期为2竹的综上，g()在(0，+∞)上无零点，也即偶函数．在同一坐标系中作出Y=sin和Y=厂()草图，由图3知Y=，()一sin在函数，()=ln一专+的零点个数为0．[一2叮r，2竹]上的零点个数为4个．选B．评注本例求解的关键策略为等价变形和放缩替换，通过这两种策略的使用，使问题1⋯多次进行等价转换，最终将不易画图的复杂函数转化为相对简单的结构，简洁而利索．一2＼＼／9＼＼／／2霄j=sin．三、已知零点个数。求参数范围例4已知)是定义在R上且周期为图33的函数，当∈[0，3)时，)=I一2x+评注此类题型一般有多种解法，若给÷1．若Y=)一n在区

6、间[～3，4]上有10出的函数是简单函数，则直接求解其对应方个零点，则实数n的取值范围是——_．程便可知零点个数；若是复杂的函数，则应先解先画出[0，3]上Y=一2x+÷的考虑把函数分成两个简单且容易作图的函数，观察两个函数的交点个数，再考虑其他方图象，再将轴下方的图象反射到上方，利用法(例如利用函数单调性等)来了解函数图象周期为3与平移可得)在[一3，4]上的图与轴的关系．象．由此易发现若，()图象要与Y=a有10个2．通过变换确定不易画图的复杂函数零不同的交点，则o∈《0，1)．头个数评注遇到此类题(函数与轴有交点例3已知实数a≥2，试判断函数)可视为函数与Y

7、=0有交点)，首先要通过运=In一+旦的零点个数_eex用函数与方程的思想进行等价转化，转化为两个更简单的函数，画出函数图象，结合交点解由于>0，判断-厂()的零点个数，个数确定参数范围．只需判断函数g()=xln一号e+号c的零点四、用其他函数的零点。估计所求函数的个数．由于Y=e在(0，+o。)上为下凸函数，零点Y=e的图象整体在其：1处的切线Y=e例5若函数，()的零点与g()=4+的上方，故得不等式e≥e．由此有g()≥2x一2的零点之差的绝对值不超过0．25，则，()可以是()l一C+旦Cf、当且仅当：C时取等号1，．(A)4x一1(B)(～1)·10．

8、第4期高中