函数的单调性和最大最小值

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1、教学基本信息课题函数的单调性和最大（小）值 （1）1.指导思想与理论依据建构主义认为，学习者的知识是在一定的情境下，借助他人的帮助，如人与人之间的协作、交流、利用必要的信息等等，通过意义建构而获得的。建构主义数学观认为，教学设计要根据学生原有知识和思维习惯设计数学活动，创设情境，让学生实现意义建构。《普通高中数学课程标准(实验)》指出：“高中数学课程应倡导自主探索等学习数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程。”要求学生“理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、

2、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。”2.教学背景分析学生在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数的基础上对函数的增减性有一个初步的感性认识，在此学习单调性是对函数概念的延续和拓展，对进一步探索、研究函数的其它性质有着示范性的作用，又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础。单调性起着承上启下的作用，一方面，是初中学习内容的深化，使学生对函数单调性从感性认识提高到理性认识。另一方面，函数的单调性为后面学习指数函数、对数函数、三角函数及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值，导数等都有着紧密的

3、联系。通过初中对函数的学习，学生已具备了一定的观察事物能力，抽象归纳的能力和语言转换能力。在此学习单调性，有助于学生从感性思维到理性思维的过渡。3.教学目标(含重、难点)知识与技能：（1）从形与数两方面理解单调性的概念（2）绝大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法过程与方法：（1）通过对函数单调性定义的探究，提高观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高推理论证能力（2）通过对函数单调性定义的探究，体验数形结合思想方法（3）经历观察发现、抽象概括，自主建构单调性概念的过程，体会从具体到抽

4、象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程情感态度价值观：通过知识的探究过程养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；感受用辩证的观点思考问题教学重点：函数单调性的概念形成和初步运用教学难点：函数单调性的概念形成  4、教学流程示意5.教学过程环节教师活动学生活动设计意图创设情境引入新课6分钟问题1：分别作出函数y=2x，y=-2x和y=x2+1的图象，并且观察函数变化规律？描述完前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。  二次函数的增减性要分段说明提出问题：二次函数是增函数还是减函数？问题二：能否用自己的理解说说什么是

5、增函数，什么是减函数？观察图象，利用初中的函数增减性质进行描述学生会指出：y=2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而增大y=-2x的图象自变量x在实数集变化时，y随x增大而减小y=x2+1在（-∞，0]上y随x增大而减小，在（0，+∞）上y随x增大而增大学生可能回答：既是增函数又是减函数或有时增函数有时减函数讨论得出：单调性是函数的局部性质结合单调性是局部性质，用直观描述回答：在一个区间里，y随x增大而增大，则是增函数；y随x增大而减小就是减函数数学课程标准中提出“通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性”，因此在本环节的设计

6、上，从学生熟知的一次函数和二次函数入手，从初中对函数增减性的认识过渡到对函数单调性的直观感受。通过一次函数认识单调性，再通过二次函数认识单调性是局部性质，进而完善感性认识。教师活动学生活动设计意图环节初步探索概念形成8分钟问题三：（以y=x2+1在 (0，+∞)上单调性为例）如何用精确的数学语言来描述函数的单调性？分三步：提问学生什么是“随着”如何刻画“增大”？对“任取”的理解进而得到增（减）函数的定义进一步提问:如何判断f(x1)

7、，提出质疑，相互补充回归函数定义解释要表示大小关系，学生会想到取点，比大小讨论应该如何取值。学生可能会提到多取一些，也可能会想到将取值区间任意小，进一步讨论得出“任取”二字。通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到  “文字语言”到 “符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。另外，在此强调“任意性”的理解，从而达到突破难点，突出重点的目的。在此还提出求差法比较大小，为后面的证明和判断扫清障碍概念深化延伸拓展12分钟问题四：能否说f(x)=在它的定义域上是减函数？从这个例子能得到什么结论？给出例子进行说明： 进一步提问：函数在定

8、义域内的两个区间A,B上都是增（减）函数，何时函数在A∪B上也是增（减）函数再一次回归定义，强调任意性思考、讨论，提出自己观点学生提出反例，如x1=-1，x2=1进一步得出结论：