全国初中数学竞赛辅导

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1、第二十九讲生活中的数学(三)——镜子中的世界　　在日常生活中，人们为了观察自己的服装仪表是否整洁漂亮，常常要照镜子．如果镜面是很平的，那么在镜子中，人或物体与其像是完全一样的．而且我们都有这样的经验：当人走近镜面，人在镜中的像也走进镜面；当人远离镜面，人在镜中的像也远离镜面．如果你留心的话，就可以发现：人和像与镜面的距离保持相等(图2-155)，这种现象叫作面对称．如果我们只取一个侧面，那么镜面就可用一条直线来表示，人和人在镜中的像可用一个平面图形来表示，这样，人、像与镜就成了轴对称，也叫直线对称(图2-155)．　　如果实物是△ABC，那么它在

2、镜中的像就成了图形△A′B′C′．直线l表示镜，这时称l为△ABC和△A′B′C′的对称轴(图2-156)．图中，A与A′，B与B′，C与C′是对称点．以对称点为端点所连结的线段AA′，BB′，CC′被对称轴l垂直平分，因此，如果以直线l为折痕，把△ABC翻折过来，它必与△A′B′C′重合，所以成轴对称的两个图形必全等．　　例1设图形ABCDEF是半个蝴蝶形(图2-157(a))，试以直线l为对称轴，画出整个蝴蝶来．　　解为了画出整个蝴蝶，只需要画出图形ABCDEF关于直线l的轴对称图形就可以了．因为A点、F点在直线l上，所以它们的对称点分别和A

3、，F是同一点，这样，只要画出B，C，D，E关于l的对称点就行了．为此，先分别过B，C，D，E向l作垂线，设垂足分别为M，N，P，Q，然后在BM，CN，DP，EQ的延长线上取B′，C′，D′和E′点，使得B′M=MB，C′N=NC，D′P=PD，E′Q=QE，最后连结AB′，B′C′，C′D′，D′E′，E′F，于是就得到完整的蝴蝶形ABCDEFE′D′C′B′了(图2-157(b))．　　例2设直线l1和直线l2平行，且l1和l2间的距离为a．如果线段AB在l1的右侧，并设AB关于l1的对称图形是A′B′，而A′B′关于l2的对称图形是A″B″(

4、图2-158)，那么，线段AB和A″B″有什么关系？　　解因为l1平行于l2，并且AA′A″垂直于l1，当然也垂直于l2，同理BB′B″也垂直于l1和l2．我们知道：“在平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，所以AA′A″∥BB′B″．①　　另一方面，因为AP=PA′，A′P′=P′A″，所以AA′A″＝2PP′=2a，　　同理BB′B″=2a，所以AA′A″=BB′B″．②　　通过例2，我们可知，如果在平面上两条直线互相平行，有一个图形以这两条直线为对称轴，连续作了两次轴对称移动，那么相当于这个图形作了一次平行移动，平行移动的距离刚好是这

5、两个对称轴间距离的2倍．　　如果我们反复利用例2的原理，就可以做成带形的花边图案．例如，我们把一张等宽的长纸条像图2-159那样折叠起来，并在上面用小刀刻出一个三角形的洞，然后再展开这张纸条，就会得到如图2-160那样的带形图案．　　　如果我们把图2-160中的m2，m1，m0，m-1，m-2，m-3看成镜子，A0看作实物，那么A1，A2和A-1，A-2就是A0在镜子中的像了．其实，图中的A1是A0以m0为对称轴作对称移动的对称图形，也可以把A1看作是A-1作一次平行移到所得到的图形．由此，怎样看待A1和A2的关系以及A2和A0的关系呢？请同学们

6、自己作出回答．　　有了上面的知识，同学们不仅可以自己设计一些带形花边图案，还可以了解某些广告上画的花边图案的原理了．下面的图2-161和图2-162是两个带形图案，你能看出它们是怎样设计的吗？　　　如果我们把前面图2-160中的m2，m1，m0，m-1，m-2等看作平行的镜子，A0看作一个人，如果这个人在镜子中m0和m-1之间反复映照，那么就会看到图2-163的情况．　　可以想象，在镜子m0中的像A1，A2，A3，…，以及在镜子m1中的像A-1，A-2，A-3，…是无限多的．还可以知道：A0在镜m0中的像是A1，A1在镜m-1中的像是A-2，A-

7、2在镜m0中的像是A3，…如此等等．因为A0和A1，A1和A2是轴对称移动，所以A0到A2是平行移动．　　例3设直线l1和直线l2相交，交点为O，其夹角为α．如果线段AB关于l1的轴对称图形是A′B′，而A′B′关于l2的轴对称图形是A″B″．试问AB和A″B″间有什么关系？(见图2-164)　　解因为已知AB关于l1的对称图形是A′B′，A′B′关于l2的对称图形是A″B″，所以AB=A′B′，A′B′=A″B″，所以AB=A″B″，①　　由于∠AOP=∠A′OP，∠A′OP′=∠A″OP′，所以∠AOA″＝2∠POP′＝2α．　　同理∠BOB

8、″=2∠POP′=2α，所以　　∠AOA″＝∠BOB″＝2α．②　　由①，②可知：在平面上，如果两条直线相交，一个图形以这两条直线为对称