二次函数知识点

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1、二次函数的定义1.一般地，形如（为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变量，分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．二、二次函数的性质1．二次函数的性质：（1）抛物线的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是（轴）.（2）函数的图像与的符号关系.①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；

2、②当时抛物线开口向下顶点为其最高点；的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．2.的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．3.二次函数的相关性质若二次函数解析式为（或）()，则：（1）开口方向：，（2）对称轴：（或），（3）顶点坐标：（或）（4）最值：时有最小值（或）（如图1）；

3、时有最大值（或）（如图2）；（5）单调性：二次函数（）的变化情况（增减性）①如图1所示，当时，对称轴左侧，随着的增大而减小，在对称轴的右侧，随的增大而增大；②如图2所示，当时，对称轴左侧，y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小；（6）与坐标轴的交点：①与轴的交点：（0，C）；②与轴的交点：使方程（或）成立的值.3.二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关

4、于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.三、二次函数的图像与系数关系1.决定抛物线的开口方向：当时抛物线开口向上；当时抛物线开口向下决定抛物线的开口大小：越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大.注：几条抛物线的解析式中，若相等，则其形状相同，即若相等，则开口及形状相同，若互为相反数，则形状相同、开口相反.2.和共同决定抛物线对称轴的位置.（对称轴为：）当时，抛物线的对称轴为轴；当同号时，对称轴

5、在轴的左侧；当异号时，对称轴在轴的右侧.3.的大小决定抛物线与轴交点的位置.（抛物线与轴的交点为）当时，抛物线与轴的交点为原点；当时，交点在轴的正半轴；当时，交点在轴的负半轴.板块二　二次函数图像特征函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时，开口向上当（轴）时，开口向下（轴）二、二次函数的三种表达方式（1）一般式：（2）顶点式：（3）双根式（交点式）：2.如何设点：⑴一次函数（）图像上的任意点可设为.其中时，该点为直线与轴交点.⑵二次函数（）图像上的任意一点可设为.时，该点为抛物线与轴交点，当时，该点为抛物线

6、顶点．⑶点关于的对称点为．4.如何设解析式：①已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式；②已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式；③已知抛物线与的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式.④已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）注：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.一、二次函数

7、与一次函数的联系一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点;②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.二、二次函数与方程、不等式的联系1.二次函数与一元二次方程的联系：1.直线与抛物线的交点:（1）轴与抛物线得交点为(0,).（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).（3）抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判

8、定：①有两个交点抛物线与轴相交；②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.（5）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故2.二次函数常用解题方法⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最