高三理科 利用空间向量求空间角总结

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1、高三年级数学科辅导讲义（第讲）学生姓名：授课教师：授课时间：专题立体几何中的向量方法目标利用空间向量求空间角重难点求解二面角的向量方法常考点二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系一、复习引入1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）2．向量的有关知识：（1）两向量数量积的定义：abO（2）两向量夹角公式

2、：（3）平面的法向量：与平面垂直的向量二、知识讲解与典例分析知识点1：面直线所成的角（范围：）（1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么直线a´与b´所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b所成的角.（2）用向量法求异面直线所成角设两异面直线a、b的方向向量分别为和，问题1：当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b所成的角与和的夹角的关系？问题2：与的夹角大于90°时，，异面直线a、b所成的角与和的夹角的关系？结论：异面直线a、b所成的角的余弦值为第9页共9页思考：在正方体中，若与分别为、的四等分点，求异面直线与的夹角余弦值？（1）方法总结：①几何法；②向量

3、法（2）与相等吗？（3）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？例1如图，正三棱柱的底面边长为,侧棱长为，求和所成的角.解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。ABCA1B1C1xyZD练习1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，现将△AOB沿着平面AOB的法向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=OO1，取A1B1、A1O1的中点D1、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。知识点2、直线与平面所成的角（范围：）第9页共9页（图1）思考：设平面的法向量为，则与的关系？（图2）据图分析可得：结论：例2、如图，正三棱柱的

4、底面边长为,侧棱长为，求和所成角的正弦值.ABCA1B1C1xyZD练习：正方体的棱长为1，点、分别为、的中点.求直线与平面所成的角的正弦值.知识点3：二面角（范围：）第9页共9页DCBAl①方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角的大小为，其中.结论：例3、如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和b,CD的长为c,AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.②法向量法ll结论：或归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同

5、出，二面角等于法向量夹角的补角.例4、如图，是一直角梯形，，面，，，求面与面所成二面角的余弦值.第9页共9页练习：正方体的棱长为1，点、分别为、的中点.求二面角的余弦值。三、课堂小结1．异面直线所成的角：2．直线和平面所成的角：3．二面角：.第四部分巩固练习1.如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1第9页共9页的中心，则EF和CD所成的角是(　　)A．60°　　　　　B．45°C．30°D．90°2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(　　)A.B.C.D

6、.3．在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为(　　)A.B.C.D.4．如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA＝AD＝2.若AB＝1，则二面角BACM的余弦值为(　　)A.B.C.D.5.如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为________．6．如图，在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的

7、中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成角为________．7．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．答案1．选B　以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐系系D－xyz，设正方体的棱长为1，则D(0,0，0)，C(0,1,0)，E，F，第9页共